8、矩形覆盖与平均值比较的计算研究

矩形覆盖与平均值比较的计算研究

在计算几何和算法分析领域，矩形覆盖问题以及平均值比较问题是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个问题，包括矩形覆盖的算法优化、计算实验结果，以及平均值比较中可能出现的反转现象及其理论限制。

矩形覆盖问题

• 像素相关特性 ：在处理矩形覆盖问题时，某些像素具有特殊性质。对于像素$\overline{p}$，向左右（或上下）延伸直至碰到非多边形像素所形成的区域，不能与$\overline{p}$对应孔洞（或外表面）不同的孔洞（或外表面）相邻，且这些像素存在自然的形成动机。在准贪心算法的修剪步骤后，覆盖中的每个矩形都包含一个私有像素，这个像素有望成为伪稳定集中的一员，该集合可能为整个覆盖“买单”，但难以控制同一矩形中该集合像素的数量。
• 边界覆盖的应用 ：存在一个简单的4 - 近似算法用于覆盖正交多边形的边界。自然会提出一个问题：是否总能找到一个内部覆盖，其大小由最优边界覆盖大小$\theta_{boundary}$的常数倍所界定？答案是否定的。图3的反例显示，左图多边形的边界可用$O(\sqrt{n})$个最大水平和垂直条带覆盖，但右图中由于白色未覆盖像素相互独立，最优内部覆盖需要$\Theta(n)$个矩形。不过，这一观察结果其实很有启发性，我们推测可以找到一个大小小于$c_1 \cdot \theta_{boundary} + c_2 \cdot \alpha$的内部覆盖，其中$c_1$和$c_2$为合适的常数，这将为矩形覆盖问题带来常数因子近似算法。
• 准素矩形与破洞操作 ：对于一大类多边形（如典型