方差的理解

方差是统计学中的一个概念,用来衡量一组数据的波动程度。它表示数据与平均值(均值)之间的离散程度,方差越大,说明数据的波动性越大;方差越小,说明数据越接近平均值。

方差的计算公式

设有一组数据:

x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_nx1​,x2​,...,xn​

  1. 求均值(平均值)

    μ=x1+x2+...+xnn\mu = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}μ=nx1​+x2​+...+xn​​
  2. 计算每个数据与均值的差,并平方

    (x1−μ)2,(x2−μ)2,...,(xn−μ)2(x_1 - \mu)^2, (x_2 - \mu)^2, ..., (x_n - \mu)^2(x1​−μ)2,(x2​−μ)2,...,(xn​−μ)2
  3. 求平均值(总体方差 σ2\sigma^2σ2)

    σ2=(x1−μ)2+(x2−μ)2+...+(xn−μ)2n\sigma^2 = \frac{(x_1 - \mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 + ... + (x_n - \mu)^2}{n}σ2=n(x1​−μ)2+(x2​−μ)2+...+(xn​−μ)2​

如果数据是样本(而不是总体),通常使用样本方差

s2=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+...+(xn−xˉ)2n−1s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2}{n-1}s2=n−1(x1​−xˉ)2+(x2​−xˉ)2+...+(xn​−xˉ)2​

这里用 xˉ\bar{x}xˉ 代替 μ\muμ,n−1n-1n−1 作为分母是为了减少误差(无偏估计)。

示例

假设你有 5 个数据:2、4、6、8、10,计算它们的方差:

  1. 计算均值:

    μ=2+4+6+8+105=6\mu = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6μ=52+4+6+8+10​=6
  2. 计算每个数据与均值的偏差平方:

    (2−6)2=16,(4−6)2=4,(6−6)2=0,(8−6)2=4,(10−6)2=16(2-6)^2 = 16, \quad (4-6)^2 = 4, \quad (6-6)^2 = 0, \quad (8-6)^2 = 4, \quad (10-6)^2 = 16(2−6)2=16,(4−6)2=4,(6−6)2=0,(8−6)2=4,(10−6)2=16
  3. 计算方差:

    σ2=16+4+0+4+165=405=8\sigma^2 = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8σ2=516+4+0+4+16​=540​=8

所以,这组数据的方差是 8

简单理解

  • 方差大:数据波动大,差异明显(如 1、10、20)。

  • 方差小:数据集中,差异较小(如 5、5.1、5.2)。

你可以试着自己算一下其他数据的方差,如果有问题可以问我!

4o

您说:

怎么理解方差大,方差小,和数据本身又相关性吗?比如 1000 左右波动的数据的方差一定会比 10左右大小波动的方差大吗

ChatGPT 说:

方差的大小确实与数据的数值范围有关,但并不是绝对的。让我们一步步分析:


1. 方差和数据的相关性

方差是数据与均值的偏差的平方的平均值,因此它反映了数据的波动程度(即数据的离散程度)。

  • 如果数据的数值本身较大(比如在 1000 左右波动),那么它们的偏差往往也会较大,这通常会导致方差较大。

  • 如果数据的数值较小(比如在 10 左右波动),那么它们的偏差往往较小,因此方差通常会较小。

但是,方差并不是由数据的大小决定的,而是由数据的相对波动范围决定的。如果数据的波动幅度相对均值来说很小,即使数据本身很大,方差也可能很小。


2. 反例:大数值数据也可能有小方差

假设我们有两组数据:

  • A 组(围绕 1000 波动):998,999,1000,1001,1002998, 999, 1000, 1001, 1002998,999,1000,1001,1002

  • B 组(围绕 10 波动):5,10,15,20,255, 10, 15, 20, 255,10,15,20,25

计算 A 组的方差
  1. 均值

    μA=998+999+1000+1001+10025=1000\mu_A = \frac{998+999+1000+1001+1002}{5} = 1000μA​=5998+999+1000+1001+1002​=1000
  2. 偏差平方

    (998−1000)2=4,(999−1000)2=1,(1000−1000)2=0,(1001−1000)2=1,(1002−1000)2=4(998 - 1000)^2 = 4, \quad (999 - 1000)^2 = 1, \quad (1000 - 1000)^2 = 0, \quad (1001 - 1000)^2 = 1, \quad (1002 - 1000)^2 = 4(998−1000)2=4,(999−1000)2=1,(1000−1000)2=0,(1001−1000)2=1,(1002−1000)2=4
  3. 方差

    σA2=4+1+0+1+45=105=2\sigma_A^2 = \frac{4+1+0+1+4}{5} = \frac{10}{5} = 2σA2​=54+1+0+1+4​=510​=2
计算 B 组的方差
  1. 均值

    μB=5+10+15+20+255=15\mu_B = \frac{5+10+15+20+25}{5} = 15μB​=55+10+15+20+25​=15
  2. 偏差平方

    (5−15)2=100,(10−15)2=25,(15−15)2=0,(20−15)2=25,(25−15)2=100(5 - 15)^2 = 100, \quad (10 - 15)^2 = 25, \quad (15 - 15)^2 = 0, \quad (20 - 15)^2 = 25, \quad (25 - 15)^2 = 100(5−15)2=100,(10−15)2=25,(15−15)2=0,(20−15)2=25,(25−15)2=100
  3. 方差

    σB2=100+25+0+25+1005=2505=50\sigma_B^2 = \frac{100+25+0+25+100}{5} = \frac{250}{5} = 50σB2​=5100+25+0+25+100​=5250​=50

结果

  • A 组(1000 附近波动)的方差是 2

  • B 组(10 附近波动)的方差是 50

尽管 A 组的数值远远大于 B 组,但它的方差反而更小,因为 A 组的数据更集中,而 B 组的数据分布更分散。


3. 结论

方差的大小取决于数据的相对波动程度,而不是数据本身的数值大小。

  • 如果一组数据集中在某个数值附近,哪怕数据本身很大,方差也可能很小。

  • 如果一组数据分散得很开,即使数据本身很小,方差也可能很大。

如果你要比较不同数量级的数据的波动程度,通常使用标准化的度量,比如变异系数(Coefficient of Variation, CV)

CV=σμCV = \frac{\sigma}{\mu}CV=μσ​

它表示数据的标准差占均值的比例,更适用于不同尺度的数据的比较。

4o

您说:

为何要多偏差进行平方,不做平方的话,他们的和会是多少,和均值什么关系。

ChatGPT 说:

1. 为什么要对偏差进行平方?

在计算方差时,我们对数据与均值的偏差 (xi−μ)(x_i - \mu)(xi​−μ) 进行平方,主要有以下几个原因:

  1. 防止正负抵消
    如果不平方,而是直接求所有数据与均值的偏差之和,即:

    ∑(xi−μ)\sum (x_i - \mu)∑(xi​−μ)

    由于均值 μ\muμ 是数据的平均值,那么所有数据点与均值的偏差(正的和负的)会相互抵消,结果总是0。这无法真正衡量数据的波动性。

  2. 强调更大的偏差
    由于平方会放大较大的偏差,它让数据的波动性更加明显。例如:

    • 如果数据是 10,11,1210, 11, 1210,11,12(偏差较小),平方后仍然较小。

    • 如果数据是 10,20,3010, 20, 3010,20,30(偏差较大),平方后放大效果更明显。

  3. 保证数学可用性

    • 绝对值 ∣xi−μ∣|x_i - \mu|∣xi​−μ∣ 也是一种可能的计算方式(即平均绝对偏差,Mean Absolute Deviation, MAD),但在数学运算中不太方便,特别是求导时不连续,不适合用于统计学的推导。

    • 平方偏差的形式符合均方误差(MSE)正态分布等数学理论,使得统计推断更容易处理。


2. 如果不平方,直接求偏差之和会是多少?

如果不做平方,直接计算所有数据与均值的偏差之和:

∑(xi−μ)\sum (x_i - \mu)∑(xi​−μ)

由于均值 μ\muμ 是所有数据的平均值,根据数学性质:

∑(xi−μ)=0\sum (x_i - \mu) = 0∑(xi​−μ)=0

无论数据如何变化,这个总和永远是零!

举个例子

假设数据是:

x=[2,4,6,8,10]x = [2, 4, 6, 8, 10]x=[2,4,6,8,10]

  1. 计算均值:

    μ=2+4+6+8+105=6\mu = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6μ=52+4+6+8+10​=6
  2. 计算偏差:

    2−6=−4,4−6=−2,6−6=0,8−6=2,10−6=42 - 6 = -4, \quad 4 - 6 = -2, \quad 6 - 6 = 0, \quad 8 - 6 = 2, \quad 10 - 6 = 42−6=−4,4−6=−2,6−6=0,8−6=2,10−6=4
  3. 偏差之和:

    (−4)+(−2)+0+2+4=0(-4) + (-2) + 0 + 2 + 4 = 0(−4)+(−2)+0+2+4=0

**偏差之和总是零!**这就是为什么不能直接使用偏差之和来衡量数据的波动性。


3. 偏差之和和均值的关系

∑(xi−μ)=0\sum (x_i - \mu) = 0∑(xi​−μ)=0

这个公式的数学意义是:
均值是数据的“平衡点”,数据点相对于均值的正偏差和负偏差总是相等的。

直观理解:

  • 均值就像一个支点(平衡点),所有数据点围绕它对称分布,左边的负偏差和右边的正偏差相互抵消。

  • 这就是为什么均值是“数据的中心”,而不是“数据的典型偏离值”。


4. 其他可能的度量方式

虽然平方是最常见的方式,但还有其他方法来衡量波动性:

  1. 平均绝对偏差(MAD)

    1n∑∣xi−μ∣\frac{1}{n} \sum |x_i - \mu|n1​∑∣xi​−μ∣
    • 直接对偏差取绝对值,而不是平方。

    • 计算量较小,但不如方差在数学推导上便利。

  2. 标准差(Standard Deviation, σ\sigmaσ)

    σ=∑(xi−μ)2n\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}σ=n∑(xi​−μ)2​​
    • 方差的平方根,单位与数据本身一致,直观性更强。

  3. 变异系数(CV)

    CV=σμCV = \frac{\sigma}{\mu}CV=μσ​
    • 用于比较不同尺度的数据波动情况。


总结

  1. 不平方的话,偏差之和永远是零,不能反映数据的真实波动性。

  2. 平方的作用

    • 防止正负偏差互相抵消。

    • 放大较大的偏差,使波动性更明显。

    • 使数学推导更方便(如正态分布、回归分析)。

  3. 均值是数据的平衡点,它使得正偏差和负偏差相等,因此偏差之和总为零。

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