凑硬币

问题

现有面额为1元，3元，5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？

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拓展

保证各种面额的硬币数足够多，如何用最少的硬币凑够n元？

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Java Code

//版本一：递归求解动态规划问题
public int minCoins(int n) {
    switch(n) {
        case 0: return 0;
        case 1: return 1;//面额依次为：1
        case 2: return 2;//面额依次为：1，1
        case 3: return 1;//面额依次为：3，
        case 4: return 2;//面额依次为：1，3
        case 5: return 1;//面额依次为：5
    }

    return Math.min(Math.min(minCoins(n-1), minCoins(n-3)), minCoins(n-5)) + 1;     
}

//版本二：递推求解动态规划问题
public int minCoins2(int n) {
    //数组minTable保存每一种总面额下需要的最少硬币数量
    int[] minTable = new int[n+1];
    minTable[0] = 0;
    minTable[1] = 1;
    minTable[2] = 2;
    minTable[3] = 1;
    minTable[4] = 2;
    minTable[5] = 1;

    for(int i=6; i < minTable.length; ++i)
        minTable[i] = Math.min(Math.min(minTable[i-1], minTable[i-3]), minTable[i-5]) + 1;

    return minTable[n]; 
}

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说明

• 解决动态规划问题的一般思路是通过分析寻找原问题的子问题，将原问题的求解转化为子问题的求解，原问题的子问题一般需要分情况讨论。我们可以总结规律得到状态转移方程即递推方程，一般情况下可能还需要总结所有可能的基本情况（比如本题中n=0,1,2，，，5这六种基本情况）。为了简化求解过程，通常需要将已经求解过的子问题结果保存起来（从基本情况开始迭代计算），以便下一次迭代时直接使用，这便是上述代码中的版本二递推解法，如果是从后往前逆推求解，由于当前情况的求解依赖于前一次求解的结果，所以需要用到递归，这便是上述代码中版本一的解法，这种解法的代码通常会显得更加简洁，但是效率不如递推法高。类似问题可以参考Leetcode - Nim Game 。

• 本题的分析比较简单，n=0,1,2，，，5为基本情况，我们单独分析，从n=6开始，我们使用递推公式来求解最少的硬币数。由于硬币面额只有3种，所以当前总额n的最少硬币数等于n-1、n-3、n-5这三种情况下的最少硬币数的最小值再加1，这个加1就对应于当前次分别用面额等于1、3、5的一枚硬币来凑够n元。

• 本题不能简单地认为把总额n中的n/5部分金额全部用面额为5的硬币凑，把剩下的的n%5部分金额用面额为1或3的硬币来凑，这种方案不一定就是最优解（本题给的三种面额用此方法正好就是最优解，所以本题可以给出更高效的解法）。举个简单的例子，如果所给的硬币面额为5,4,1三种，当n=8时，如果用本方案则需要的硬币面额分别为5、1、1、1，共需要4枚硬币，而实际上最优解只需要两枚4元硬币即可。