滑动窗口最大值：单调队列精解

单调队列的定义与特点

单调队列是一种特殊的队列数据结构，保证队列中的元素始终按照某种单调性（递增或递减）排列。与普通队列不同，单调队列在插入新元素时会移除破坏单调性的元素，从而高效维护队列的单调性。

单调队列的核心操作

初始化
通常使用双端队列（如C++的deque）实现，方便两端操作。

插入元素
以维护递减队列为例：

1. 从队尾开始，移除所有小于当前待插入元素的队尾元素。
2. 将新元素插入队尾。
   例如插入元素x的伪代码：

while (!dq.empty() && dq.back() < x) dq.pop_back();
dq.push_back(x);

删除元素
若队首元素超出滑动窗口范围或其他条件，需移除队首元素：

if (!dq.empty() && dq.front() == out_of_range_value) dq.pop_front();

典型应用场景

滑动窗口最大值
问题描述：给定数组和窗口大小k，返回每个窗口的最大值。
解法：

1. 维护递减单调队列，队首即为当前窗口最大值。
2. 滑动窗口时，移除左边界元素（若等于队首），并插入新元素。

def maxSlidingWindow(nums, k):
    from collections import deque
    dq = deque()
    res = []
    for i, num in enumerate(nums):
        while dq and nums[dq[-1]] < num:
            dq.pop()
        dq.append(i)
        if dq[0] == i - k:
            dq.popleft()
        if i >= k - 1:
            res.append(nums[dq[0]])
    return res

优化动态规划问题
在某些DP问题中，单调队列可以优化状态转移。例如：

• 问题：dp[i] = max(dp[j] + f(i-j))，其中j在某个区间内。
• 优化：用单调队列维护dp[j] + f(i-j)的极值，避免重复计算。

复杂度分析

• 时间复杂度：每个元素最多入队和出队一次，均摊复杂度为$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(k)$，其中$k$为队列最大长度（如滑动窗口大小）。

注意事项

• 边界处理：需检查队列是否为空再进行操作。
• 元素重复：若存在重复值，队列中存储下标而非值，避免误删。
• 单调性选择：根据问题需求选择递增或递减队列。