本文探讨了动态规划在解决最大字段和与最长单调递增子序列问题的应用，包括算法设计、错误修正及复杂性分析。通过实例解析，阐述了动态规划在不同场景下的适用性和局限性。
DP算法最大字段和 a[1...n]
找出连续子序列和最大的一个
(曹博的PPT里面看到的)DP算法 最长单调递增(递减)子序列 a[1...n] 王晓东算法书一道习题记得是
找出未必连续的 最长的 单调递增子序列
dp[i]: 表示a[1...i]的最长单调递增子序列，由于是否加一个元素与之前解的最后一个元素大小有关，因此用j记录
dp[i-1]的最优解最后一个元素，
dp[i]=dp[i-1]+1 a[i]>a[j],j记录之前的最后一个元素index
dp[i-1] a[i]<a[j]
但是后来才发现这个DP是错的,举个范例， 1 3 2 2.5 解为1 2 2.5，但是实际上述跑出来是1 3 ，因为后面会因为
比之前的3小而放弃，所有DP有时候模糊写了一个算法，好像是对的，往往是错的。。。。。
正确的算法是O(n^2)的，思路仿照最大字段和，dp[i]不是原问题的子空间最优解，而是包含a[i]在内的子空间的
最优解，然后再遍历一遍 dp[1...n]就是原问题最优解了。
这个是从另一个角度来划分子空间，从解的最有一个元素是那个index的角度，可能的只有1...n
dp[i]=max{dp[x], x<i, a[x]<a[i]}+1
为什么不考虑比a[i]大的a[x]呢？因为定义啊，子空间最后一个元素就是a[i], 如果前面大的话只能放弃a[i], 那么得出的解就不符合定义
这个想想其实挺巧妙的。
另外当时想最大字段和为啥是:
b[j]= max{a[j], b[j-1]+a[j]}, 也即如果前面一个是负的，就全部丢弃，选a[j],否则累加a[j]?
我当时可不可能是 (sum=)a[k...j-1]+a[j] 会更优，k>1? 后来发现不可能， 假设b[j-1] <0, a[j] 较大，如果b[j]里面，有
更优解 a[k...j-1,j] 那么大于a[j] 所以sum a[k...j-1]>0, b[j-1]比存在一个大于0的最优解，与假设矛盾，所以b[j-1]<0
找出连续子序列和最大的一个
(曹博的PPT里面看到的)DP算法 最长单调递增(递减)子序列 a[1...n] 王晓东算法书一道习题记得是
找出未必连续的 最长的 单调递增子序列
dp[i]: 表示a[1...i]的最长单调递增子序列，由于是否加一个元素与之前解的最后一个元素大小有关，因此用j记录
dp[i-1]的最优解最后一个元素，
dp[i]=dp[i-1]+1 a[i]>a[j],j记录之前的最后一个元素index
dp[i-1] a[i]<a[j]
但是后来才发现这个DP是错的,举个范例， 1 3 2 2.5 解为1 2 2.5，但是实际上述跑出来是1 3 ，因为后面会因为
比之前的3小而放弃，所有DP有时候模糊写了一个算法，好像是对的，往往是错的。。。。。
正确的算法是O(n^2)的，思路仿照最大字段和，dp[i]不是原问题的子空间最优解，而是包含a[i]在内的子空间的
最优解，然后再遍历一遍 dp[1...n]就是原问题最优解了。
这个是从另一个角度来划分子空间，从解的最有一个元素是那个index的角度，可能的只有1...n
dp[i]=max{dp[x], x<i, a[x]<a[i]}+1
为什么不考虑比a[i]大的a[x]呢？因为定义啊，子空间最后一个元素就是a[i], 如果前面大的话只能放弃a[i], 那么得出的解就不符合定义
这个想想其实挺巧妙的。
另外当时想最大字段和为啥是:
b[j]= max{a[j], b[j-1]+a[j]}, 也即如果前面一个是负的，就全部丢弃，选a[j],否则累加a[j]?
我当时可不可能是 (sum=)a[k...j-1]+a[j] 会更优，k>1? 后来发现不可能， 假设b[j-1] <0, a[j] 较大，如果b[j]里面，有
更优解 a[k...j-1,j] 那么大于a[j] 所以sum a[k...j-1]>0, b[j-1]比存在一个大于0的最优解，与假设矛盾，所以b[j-1]<0
时，a[j]必是最优解，没有其他情况大于他。
所以总之，完全不依赖模板题写一个新的DP是比较难的，因为极有可能就是错的，验证就是举反例，但有时不好举，举不出又不能说明正确，当时我问沈老师，
他也说了，DP算法是有一点难的算法
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