32、随机变量、向量、场与图像处理基础

随机变量、向量、场与图像处理基础

1 随机变量、向量和随机场

1.1 交叉协方差与不相关性、独立性

• 交叉协方差 ：交叉协方差的定义为 $\Sigma_{xy} = E[(x - \mu_x)(y - \mu_y)^T]$。
• 不相关性 ：当 $E[xy^T] = E[x]E[y^T]$ 时，意味着 $\Sigma_{xy} = 0$，此时随机变量 $x$ 和 $y$ 不相关。
• 独立性 ：若 $p(x, y) = p(x)p(y)$，则 $x$ 和 $y$ 相互独立。需要注意的是，独立一定意味着不相关，但不相关不一定意味着独立。
• 贝叶斯规则 ：贝叶斯规则表达式为 $p(x|y) = \frac{p(x, y)}{p(y)} = \frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}$。

1.2 随机场

随机场 $X$ 是一组排列在格点 $\Omega$ 上的随机变量集合，即 $X = {x_i \in \Psi | i \in \Omega}$。原则上，格点可以是任意维度的离散点集合，为了方便理解，通常将其看作是一个矩形的规则阵列，如 $\Omega = {(i, j) | 1 \leq i \leq n_1, 1 \leq j \leq n_2}$，此时随机场就是一组随机像素 $X = {x_{i,j} | (i, j) \in \Omega}$。

随机场具有空间平稳性和时间平稳性的概念：