31、矩阵变换与统计基础：原理、方法与应用

矩阵变换与统计基础：原理、方法与应用

1. 矩阵变换基础

在矩阵分析中，奇异值分解（SVD）是一个重要的工具。对于矩阵关系 $E\begin{bmatrix}x & y^T\end{bmatrix} = USV^T$，可推出 $E\begin{bmatrix}(U^Tx) & (V^Ty)^T\end{bmatrix} = S$，这能确定 $x$ 和 $y$ 之间关系的主成分。具体而言，若 $x \in R^n$，$y \in R^k$ 且 $k < n$，则有以下关系：
- $u_i^T x$（$i \leq k$）与 $v_j^T y$（$\forall j \neq i$）不相关。
- $u_i^T x$（$i > k$）与 $q^T y$（$\forall q$）不相关。
- $u_j^T x$（$i \leq k$）与 $v_j^T y$ 以强度或显著性 $\sigma_i$ 相关。

对于方阵 $A$，SVD 可用于计算其条件数 $\kappa(A)$，公式为 $\kappa(A) = \frac{\sigma_{max}(A)}{\sigma_{min}(A)}$。对于对称的协方差矩阵，由于 SVD 和特征分解的等价性，条件数也可通过特征值计算：$\kappa(A) = \frac{\max_i |\lambda_i(A)|}{\min_j |\lambda_j(A)|}$。这种形式在某些情况下很有用，例如可以使用快速傅里叶变换（FFT）计算特征值的平稳情况，或者特征分解可以解析求解的特定先验情况。

2. 常见矩阵变换方法

以下是一些常见且广泛应用的矩阵变换方法：
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