24、矩阵线性结构与不等式的深入解析

矩阵线性结构与不等式的深入解析

1. 矩阵的线性结构

1.1 线性结构的示例

在矩阵的世界里，$n×n$ 下三角矩阵、严格下三角矩阵和对角矩阵都属于线性结构。这些矩阵类的共同特点是，典型矩阵 $X$ 遵循线性约束，例如 $x_{ij} = x_{kl}$ 或者 $x_{ij} = 0$。对于每一类矩阵，都存在一个向量函数 $\psi(X)$（类似于对称矩阵的 $vech(X)$），它包含了 $X$ 的 $s$ 个“自由”元素，同时还有一个矩阵 $\Delta$（类似于对称矩阵的 $D$），使得 $\Delta\psi(X) = vec X$ 对于所有属于 $L(\Delta)$ 的 $X$ 都成立。不同线性结构的维度如下：
| 矩阵类型 | 维度 |
| — | — |
| 对称矩阵 | $\frac{1}{2}n(n + 1)$ |
| 下三角矩阵 | $\frac{1}{2}n(n + 1)$ |
| 严格下三角矩阵 | $\frac{1}{2}n(n - 1)$ |
| 对角矩阵 | $n$ |

1.2 线性结构的基本性质

设 $L(\Delta)$ 是一个维度为 $s$ 的线性结构，以下三个陈述是等价的：
1. $A \in L(\Delta)$；
2. $(I - \Delta\Delta^+) vec A = 0$；
3. 存在一个 $s×1$ 向量 $\psi(A)$，使得 $vec A = \Delta\psi(A)$。

证明过程如下：
- 1 ⇔ 3：$A \in L(\Delta)$ 等价于 $vec A$ 位于由