4、复矩阵与向量空间知识解析

复矩阵与向量空间知识解析

1. 复矩阵相关内容

1.1 共轭转置

复矩阵 (U) 可写成 (U := A + iB)，其中 (A) 和 (B) 为实矩阵，其共轭转置 (U^ := A’ - iB’)。
- 性质证明 ：
- 若 (A) 为实矩阵，(A^ = A’)，这由定义直接可得。
- 给定矩阵 (Z = \begin{bmatrix}1 + 2i\3 - 5i\7\8 + i\6i\2 - i\end{bmatrix})，可计算出 (Z’ = \begin{pmatrix}1 + 2i & 8 + i\3 - 5i & 6i\7 & 2 - i\end{pmatrix})，(Z^ = \begin{pmatrix}1 - 2i & 8 - i\3 + 5i & -6i\7 & 2 + i\end{pmatrix})，且 ((Z^ )^ = Z)。
- 对于任意矩阵 (U)，((U^ )^ = U)。设 (U := A + iB)，则 (U^ = A’ - iB’)，((U^ )^ = (A’)’ + i(B’)’ = A + iB = U)。
- 证明 ((UV)^ = V^ U^ )：设 (U := A + iB)，(V := C + iD)，(UV = (AC - BD) + i(AD + BC))，则 ((UV)^ = (AC - BD)’ - i(AD + BC)’ = (C’A’ - D’B