14、参数化量子电路的强大力量

参数化量子电路的强大力量

参数化量子电路（PQC）在量子机器学习（QML）领域中展现出了巨大的潜力。本文将深入探讨PQC的两个重要特性：抗过拟合能力和更强的表达能力。

1. 强正则化

1.1 正则化挑战

参数化量子电路作为分类器时，面临着与经典模型相同的挑战，即需要对未见过的数据点进行良好的泛化。经典机器学习中有多种监督学习模型和正则化技术可供选择，这些技术通常是针对特定模型的。例如，在训练决策树时可以限制其深度，在训练神经网络时可以在成本函数中添加惩罚项。

1.2 Lipschitz常数

为了量化网络的过拟合能力，我们引入了Lipschitz常数。给定两个度量空间 $(X, d_X)$ 和 $(Y, d_Y)$，如果存在一个常数 $k \geq 0$，使得对于所有的 $x_1, x_2 \in X$，都有 $d_Y(f(x_1), f(x_2)) \leq kd_X(x_1, x_2)$，则称函数 $f: X \to Y$ 是Lipschitz连续的，$k$ 被称为Lipschitz常数。

对于前馈神经网络的第 $j$ 层，我们可以通过计算其Lipschitz常数来衡量该层的正则化程度。具体来说，对于一个由 $l$ 个全连接层组成的前馈神经网络，其可以表示为一系列函数的组合：$f(x) = (\phi_l \circ \phi_{l - 1} \circ \cdots \circ \phi_1)(x)$，其中每个 $\phi_j$ 实现了第 $j$ 层对 $n$ 维输入 $x$ 的仿射变换，由一个 $m \times n$ 的权重矩阵 $W_j$ 和一个 $m$ 维的偏置向量 $b_j$ 参数化：$\phi_j