7、线性代数中的线性变换与应用

线性代数中的线性变换与应用

1. 线性变换的基本概念

线性变换是线性代数中的一个重要概念，它不仅在线性代数本身有着广泛的应用，还在计算机图形学、信号处理等领域发挥着重要作用。线性变换是一种函数，它将向量空间中的一个向量映射到另一个向量空间中的向量，并且保持向量的线性组合不变。具体来说，如果 ( T ) 是一个线性变换，那么对于任意两个向量 ( v ) 和 ( w ) 以及任意标量 ( c ) 和 ( d )，线性变换 ( T ) 必须满足以下两个条件：

• 加法性：( T(v + w) = T(v) + T(w) )
• 齐次性：( T(cv) = cT(v) )

这两个条件确保了线性变换的性质，即它可以保持向量的线性组合不变。线性变换可以用矩阵表示，这使得我们可以利用矩阵运算来简化和理解复杂的线性变换问题。

示例：线性变换的矩阵表示

考虑一个简单的二维线性变换 ( T )，它将向量 ( v = [x, y]^T ) 映射到另一个向量 ( T(v) = [x’, y’]^T )。假设 ( T ) 的矩阵表示为 ( A )，那么有：

[ T(v) = A \cdot v ]

其中 ( A ) 是一个 ( 2 \times 2 ) 的矩阵。例如，旋转矩阵 ( R(\theta) ) 可以表示为：

[ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} ]