青蛙跳台阶

青蛙跳台阶

问题描述：
一只青蛙一次可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶。求青蛙跳上 $n$ 级台阶有多少种跳法？

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问题分析

青蛙跳到第一级台阶只有一种跳法（即从初始位置跳一级台阶）

跳到第二级台阶有两种跳法（即从初始位置跳两级，要么一级一级的跳）

设函数$f(n)$为青蛙跳台阶的种数，$n$为台阶级数，$n=0$表示青蛙在初始位置，$f(0)=1$。

由此可知：

$f(1)=1$，跳到第一级台阶只有一种跳法；

$f(2)=f(0)+f(1)$，跳到第二级台阶要么从初始位置跳两步，要么就从第一级台阶跳一步；

$f(3)=f(1)+f(2)$，跳到第三级台阶要么从第一级台阶跳两步，要么就从第二级台阶跳一步；

由此可以得到规律：

$f(n)=f(n-2)+f(n-1)$，跳到第 $n$ 级台阶要么从第 $n-2$ 级台阶跳两步，要么就从第 $n-1$ 级台阶跳一步；

$$f(n)\{\begin{array}{ll}1& (n=1)\\ f(n)=f(n-2)+f(n-1)& (n\ge 2)\end{array}$$

其实这就是斐波那契数列，$11235\dots n$

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解法

• 递归

  int f(int n)
  {
      if (n == 0 || n == 1)
          return 1;
      else
          return f(n - 2) + f(n - 1);
  }
  

• 自底向上的递推

  int f(int n)
  {
      int a = 1, b = 1, c;
      if (n == 0 || n == 1)
          return 1;
      else
          for (int i = 2; i <= n; i++)
          {
              c = a + b;
              a = b;
              b = c;
          }
      return c;
  }
  

• 数学公式

  转化为数学问题，其实也就是：

  已知 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n>2)$ ，$a_1=1$ ， $a_2=1$ ，求 $a_n$ 的通项公式。

  解：构造特征方程 $x^2-x-1=0$ ，设$\alpha$ ，$\beta$ 为方程的两个根。解得：

  $\alpha =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ，$\beta =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

  根据 $a_n=P{a}_{n-1}+Q{a}_{n-2}$ 型数列的通项公式可计算 $a_n$ 的通项公式：
  $$a_n=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n}{\sqrt{5}}$$

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  类似 $a_n=P{a}_{n-1}+Q{a}_{n-2}$ 这样的数列，求 $a_n$ 通项公式：

  构造特征方程 $x^2-P\cdot x-Q=0$，设$\alpha$ ，$\beta$ 为方程的两个根

  则 $P=\alpha +\beta$ ， $Q=-\alpha \cdot \beta$，则：
  $$\begin{array}{rl}{a}_n=(\alpha +\beta )& a_{n-1}-\alpha \beta \cdot a_{n-2}\\ & \\ a_n-\alpha \cdot a_{n-1}& =\beta \cdot (a_{n-1}-\alpha \cdot a_{n-2})\\ & \\ \frac{a_n-\alpha \cdot a_{n-1}}{a_{n-1}-\alpha \cdot a_{n-2}}& =\beta \end{array}$$
  即数列 {an+1−α⋅an}\{a_{n+1}-\alpha \cdot a_n\}{an+1​−α⋅an​} 是以 $a_2-\alpha \cdot a_1$ 为首项，以 $\beta$ 为公比的等比数列，则：
  $$\begin{gathered} a_{n+1}-\alpha \cdot a_n=(a_2-\alpha \cdot a_1)\cdot {\beta }^{n-1} \\ \frac{a_{n+1}}{{\beta }^{n+1}}-\frac{\alpha }{\beta }\cdot \frac{a_n}{{\beta }^n}=\frac{a_2-\alpha \cdot a_1}{{\beta }^2} \\ \frac{a_{n+1}}{{\beta }^{n+1}}+\frac{a_2-\alpha \cdot a_1}{\beta (\alpha -\beta )}=\frac{\alpha }{\beta }[\frac{a_n}{{\beta }^n}+\frac{a_2-\alpha \cdot a_1}{\beta (\alpha -\beta )}] \end{gathered}$$
  即数列 {anβn+a2−α⋅a1β(α−β)}\{\frac{a_n}{\beta^n}+\frac{a_2-\alpha \cdot a_1}{\beta(\alpha-\beta)}\}{βnan​​+β(α−β)a2​−α⋅a1​​} 是以 $\frac{a_1}{\beta }+\frac{a_2-\alpha \cdot a_1}{\beta (\alpha -\beta )}$ 为首项，以$\frac{\alpha }{\beta }$ 为公比的等比数列，则：
  $$\begin{gathered} \frac{a_n}{{\beta }^n}+\frac{a_2-\alpha \cdot a_1}{\beta (\alpha -\beta )}=[\frac{a_1}{\beta }+\frac{a_2-\alpha \cdot a_1}{\beta (\alpha -\beta )}](\frac{\alpha }{\beta }{)}^{n-1} \\ {a}_n=\frac{a_2({\alpha }^{n-1}-{\beta }^{n-1})+a_1(\alpha {\beta }^{n-1}-{\alpha }^{n-1}\beta )}{\alpha -\beta } \end{gathered}$$