“景驰科技杯”2018年华南理工大学程序设计竞赛 H 对称与反对称(对称矩阵的性质)

最新推荐文章于 2018-08-04 15:38:12 发布

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#矩阵

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本文介绍了一种将任意方阵分解为对称矩阵与反对称矩阵的方法，并提供了具体的算法实现。通过简单的数学推导，文章展示了如何利用矩阵转置的概念来完成这种分解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

描述

给出一个N*N的方阵A。构造方阵B,C: 使得A = B + C.其中 B为对称矩阵，C为反对称矩阵。对于方阵S中的任意元素,若(S)ij
= (S)ji,则称S为对称矩阵对于方阵T中的任意元素,若(T)ij = -(T)ji,则称T为反对称矩阵注意，所有运算在模M意义下

输入描述:

输入包含多组数据，处理到文件结束每组数据，第一行包含两个正整数N,M(1 <= N <= 1000, 1 <= M <=
1000,000,001)分别表示方阵大小与模数，其中M必定为奇数。
接下来的N行，每行有N个非负整数，表示方阵A(0<=Aij<=1000,000,000)。

输出描述:

对于每组数据，将反对称矩阵 $C$ 在 $N$ 行中输出；若不存在解，则输出”Impossible”；若存在多解，则输出任意解。

输入

2 19260817
0 1
1 0

输出

0 0
0 0

思路

先引用线代书上的一句话:

由对称矩阵和反对称矩阵的定义可知，任一 $n$ 阶矩阵 $A$ 均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和，即:

A = A + A T 2 + A - A T 2

$A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}$
其中

A+AT2A+AT2 $\frac{A+A^T}{2}$ 为对称矩阵，

A−AT2A−AT2 $\frac{A-A^T}{2}$ 为反对称矩阵。

所以既然一定存在，就不存在题中说的Impossible的情况，因为题目规定一切运算要在模的意义下，所以要注意取模。。我就是在这里WA了的

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <map>
#include <iostream>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
typedef long long ll;
const int N=1000+20;
ll n,mod;
ll a[N][N];
ll b[N][N];
int main()
{
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&mod))
    {
        ll m=mod/2+1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
                scanf("%lld",&a[i][j]);
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(j==1)
                    printf("%lld",((a[i][j]-a[j][i])*m%mod+mod)%mod);
                else
                    printf(" %lld",((a[i][j]-a[j][i])*m%mod+mod)%mod);
            }
            printf("\n");
        }
    }
}