【bzoj 1257】[CQOI2007]余数之和sum

1257: [CQOI2007]余数之和sum

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Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000
100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

Source
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【题解】

$$\sum_{i=1}^n k mod i$$
$$=\sum_{i=1}^n k-\lfloor\frac{k}{i}\rfloor *i$$
$$=n*k-\sum_{i=1}^n \lfloor\frac{k}{i}\rfloor*i$$
$$当i>k时，\lfloor\frac{k}{i}\rfloor*i =0$$
so,只需考虑$i≤k$的情况，即：
$$=n*k-\sum_{i=1}^{min(n,k)}\lfloor\frac{k}{i}\rfloor *i$$
$$根据性质可知：\lfloor\frac{k}{i}\rfloor的取值不超过\sqrt{k}个连续区间$$
$$用i从1到min(n,k)枚举，每次找到取值w，算出左右区间。左区间：l=i，右区间：当\lfloor\frac{k}{i}\rfloor = w 时，根据高斯消元的性质，w=\lfloor\frac{k}{i}\rfloor≤\frac{k}{i}$$
$$so,i≥\frac{k}{w},r=\frac{k}{w}$$
$$由于可能存在r≥n，r=min(r，w)$$
$$对于每个区间，ans+=w*\sum_{q=l}^r q，然后到下一区间：i=r+1$$
$$结果为ans$$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long n,m,ans;
inline long long js(long long x)
{
    return x*(x+1)>>1;
}
int main()
{
    long long i,j;
    scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
    for (i=1,j=0;i<=min(n,m);i=j+1)
     {
        j=m/(m/i);//计算一段数的结尾 
        if (j>n) j=n;//如果j跑到n之外，就把它拽回n 
        ans+=m/i*((js(j)-js(i-1)));//用前缀和来维护每一段的和 
     }
    ans=n*m-ans; 
    printf("%I64d\n",ans); 
    return 0;
 }