卷积

1.定义

卷积是分析数学中一种重要的运算，对于在空间R上的f(x),g(x)是两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

上述的定义是假设f(x)和g(x)在空间R上是连续的，如果它们为离散的，即卷积的变量x(n)和h(n)是序列，则卷积可以表示为：

其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。

2.通俗解释

卷积来源于信号处理系统，假设B是一个系统，其t时刻的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的响应函数为h(t)，按理说，输出与输入的关系应该为

                                                 Y(t)=h(t)x(t)，

然而，实际的情况是，系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关，还与它在t时刻之前的响应有关，不过系统有个衰减过程，所以t1（<t）时刻的输入对输出的影响通常可以表示为x(t)h(t-t1)，这个过程可能是离散的，也可能是连续的，所以t时刻的输出应该为t时刻之前系统响应函数在各个时刻响应的叠加，这就是卷积，用数学公式表示就是

                                            y(s)=∫x(t)h(s-t)dt，

离散情况下就是级数了。

    我对信号处理一知半解，胡言乱语一番可别揪我的小辫子。我们知道积分变换可以把卷积运算变成通常的乘积运算，积分变换的物理意义在于通过这种变换可以把时间域上的函数变成频率域上的函数，这个过程是可逆的。上述卷积经过积分变换后变成了

Y(u)=X(u)H(u)

其中Y，X，H分别为y,x,h的积分变换。信号处理中人们关心的是Y(u)，但X(u)与H(u)往往并不那么容易求出来，而x(t)与h(t)是比较容易得到的（真的？），为了找到Y(u)与y(t)的对应关系从而得到Y(u)，人们发明了卷积(引用链接)。