49、深入解析动态规划：从基础到实战

深入解析动态规划：从基础到实战

1 动态规划简介

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种在计算机科学中广泛使用的算法设计技术。它通过将复杂问题分解为更简单的子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。动态规划不仅适用于解决最优化问题，还可以用于解决组合问题和其他类型的递归问题。

1.1 动态规划的核心思想

动态规划的核心思想是 重叠子问题 和 最优子结构 。重叠子问题指的是一个问题可以分解为多个子问题，这些子问题之间可能存在重叠。最优子结构是指一个问题的最优解可以通过其子问题的最优解构造而来。这两个特性使得动态规划能够在多项式时间内解决许多指数时间复杂度的问题。

1.2 动态规划的适用场景

动态规划适用于以下几种场景：

• 最优化问题 ：如最长公共子序列、背包问题等。
• 组合问题 ：如排列组合、路径计数等。
• 递归问题 ：如斐波那契数列、汉诺塔等。

1.3 动态规划的基本步骤

使用动态规划解决问题通常包括以下几个步骤：

1. 定义状态 ：确定问题的状态表示，即如何用一个或多个变量表示子问题。
2. 确定状态转移方程 ：根据子问题之间的关系，确定状态转