37、动态规划：解决复杂问题的利器

动态规划：解决复杂问题的利器

1. 引言

在计算机科学中，动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种强大的算法设计技术，用于解决优化问题。它通过将复杂问题分解为更简单的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。动态规划适用于许多实际问题，如最短路径、背包问题、字符串编辑距离等。本文将详细介绍动态规划的核心概念、应用场景以及具体实现方法。

2. 动态规划的基本原理

动态规划的核心思想是将一个复杂问题分解为若干个重叠的子问题，然后通过递归或迭代的方式求解这些子问题，并将结果存储起来以备后续使用。这种方法不仅能够减少重复计算，还能显著降低算法的时间复杂度。

2.1 子问题的定义

在动态规划中，子问题是原始问题的一个较小版本。例如，在计算斐波那契数列时， fib(n) 可以被分解为 fib(n-1) 和 fib(n-2) 。通过这种方式，我们可以逐步缩小问题的规模，直到达到基本条件为止。

2.2 状态转移方程

状态转移方程是动态规划的关键组成部分，它描述了从一个状态转移到另一个状态的规则。例如，在背包问题中，状态转移方程可以表示为：

[ dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i) ]

其中， dp[i][j] 表示前 i 个物品在容量为 j 的背包中的最大价值， w_i <