笔试题目解答

问题描述：一个二维迷宫地图，0表示不可通行，1表示可以通行，2表示可以通行且为必经点，用集合S表示，3表示起点，用点A表示，4表示终点，用点B表示。求从A到B的最短路径。

问题分析：

（一）首先从点A出发，在S中找出距离点A最近的必经点s1，再从s1出发找出距离点s1最近的必经点s2，以此类推，最终找到sn。计算sn到终点B的距离，将这些距离循环叠加，就是整个的最短路径。（尚需要理论证明）

证明：当n=3时显然成立，若AB<AC,那么AB+BC<AC+CB，成立。（1）

当n= 4时，构成四边形，ABCD，假设先走B点，那么BCD中距离B点最近的点M，以及剩下的一点N，肯定可以保证BM,MN之后最短。此点可以由（1）可知。同理先走C点，或者D点同样可以保证剩下MN的最短。在BCD三点之间的最短距离肯定相等，固有

Dis(B) = Dis(C) = Dis(D)。那么ABCD之间的距离可以转化为：

AB+Dis(B) ，AC+Dis(C) ，AD+Dis(D) 那么可以得出结论，先走距离A最短的点，然后根据此点一次寻找距离是最短距离。（2）

当n=K+1是，构成k+1边行（可能非凸多边形）。可以保证K个点的最短路径一致。此点可以有（1）（2）联合推导推广得出。

那么A到剩下K个点的最短距离也是从距离A最短的距离依次延伸取得。

法一：a、求A到某必经点S’之间的最短距离。可以通过深度优先方法取得。

b、比较每个必经点S’与A之间的最短距离，找出最最短的距离，作为第一个点。

c、根据第一个点S1，按照a、b步骤循环计算，最终找出Sn个点。

d、计算Sn到点B的距离

e、计算这些距离之和。

复杂度很高。

法二：a、求A到第一个必经点S’之间的最短距离。用广度优先方法。以广度优先搜索得到的最先找到的点，肯定是距离A最近的点。（尚需理论证明）

b、以点S1作为出发点，用a步骤循环计算，最终找出Sn个点。

c、计算Sn到点B的距离

d、计算这些距离之和。

说明：根据广度优先搜索的原则，每一次向下搜索，处于同一层的距离肯定一样，那么广度优先搜索找到的第一个必经点必定距离起始点最近，即可终止搜索。根据每个点的被访问属性可以对广度优先搜索进行剪枝。

复杂度相对较低。