随机过程| 特征函数篇

为什么会有特征函数？

“a generating function is like a clothesline on which we hang up a sequence of numbers.”__________Herbert Wilf

${\psi }_x(t)=E(e^{itx})$

观察$e^{itx}$的泰勒展开

$e^{itx}=1+\frac{itx}{1}-\frac{t^2{x}^2}{2}...+\frac{(it{)}^n{x}^n}{n!}$
$E(e^{itx})=e^{itx}=1+\frac{itE(x)}{1}-\frac{t^{2}E(x^2)}{2}...+\frac{(it{)}^{n}E(x^n)}{n!}$

包含分布函数所有矩。即包含该分布函数的全部特征。而且根据泰勒级数，两个函数的各阶导数相同的越多，则这两个函数越相似。

因此，如果特征函数相等，则该分布的各个特征相等，则该分布相同。

“a generating function is like a clothesline on which we hang up a sequence of numbers.”__________Herbert Wilf

傅立叶逆变换

当随机变量X为连续随机变量，密度函数为p(x),特征函数为$\psi (x)$,可以用傅立叶逆变换（实质上是一对互逆变换）。

$\psi (t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itx}p(x)dx$

$p(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-itx}\psi (t)dt$

逆转公式

唯一性定理

随机变量的分布由其特征函数惟一决定
即随机变量的特征函数相同，其分布就相同，可用逆转公式进行证明
应用：验证正态分布的可加性…
根据特征函数判断分布

专门用来使用特征函数的乘积来处理独立随机变量和的分布

特征函数的性质

常用分布的特征函数

分布函数的连续性定理

分布函数序列$F_n(x)$ 弱收敛于分布函数$F(x)$的充要条件是其 特征函数序列${\psi }_x(t)$收敛于F(x)的特征函数$\psi (t)$.