Red_Bean_Monster的博客

无约束约束FONC:x∗x^*x∗局部最小点 (+ CQ)∇fx∗0∇fx∗0KKT 条件SONC:x∗x^*x∗局部最小点 (+ CQ)∇fx∗0∇2fx∗半正定\nabla f(x^*) = 0 \\ \nabla^2f(x^*) 半正定∇fx∗0∇2fx∗半正定KKT 条件\quad∇xx2Lxλμ∇xx2​Lxλμ在CxC(x)Cx上半正定∇fx∗0∇2fx∗。

考虑非线性优化：min⁡xf(x)s.t.gi(x)≤0∀i=1,2,...m\mathop{\min}_{x} \quad f(x)\qquad \\ s.t. \quad g_i(x) \leq 0 \quad \forall i = 1, 2,... mminx​f(x)s.t.gi​(x)≤0∀i=1,2,...m不等式约束的KKT条件设x⇤为(1)的局部最小值，并假设向量{∇gi(x):i∈A(x∗)}\{\nabla g_i(x) : i \in A(x^*)\}{∇gi​(x):i∈A(

我们已经讨论了一般非线性不等式约束的弗里茨-约翰条件（FONC）。在这种情况下，弗里茨-约翰条件只是施加了向量的线性依赖性。根据对偶性理论，对偶性不可能是不可行的，因此(通过让。许多点可以满足这个条件而不需要最小化。是(1)的局部最小值。那么，就不存在一个向量。让我们公式化FONC的不可行的下降方向视图。然后根据泰勒和下降方向的定义，有一个。是(1)的局部最小值。是局部最优的事实相矛盾。，否则它将与定理相矛盾。，它们并不都是零，这样。另一方面，对于所有的。

非线性优化技术简介----一阶必要条件

一个连续的函数。

所有的平稳点（FONC）都是局部极小化器的候选点。（不充分）SONC可以进一步去除一些非局部极小化的平稳点，包括局部极大点和具有不定海森矩阵的鞍点。SOSC可以用来充分识别严格的局部极小值。对于具有PSD Hessian的非严格局部极小值和鞍点（考虑x0x=0x0处的x3x_3x3​），SONC在两种情况下都满足。到目前为止，我们还没有足够的条件来识别它们。到目前为止，我们研究了无约束问题的最优性条件。下一节课，我们将开始研究受约束问题的最优性条件。