HDU5900 QSC and Master（区间dp）

题意

有一个序列，每个元素都有一个键值key，和一个价值value。假如其中相邻的两个元素的键值的最大公约数不为1（不互质），可以把这两个元素从序列中取走，并或得这两个元素价值的分数，可以一直取，问最大能或得多少分数。

思路

这是一道典型的区间dp，然而比赛的时候跟本没什么想法。。用dp[i][j]来表示区间[i,j]能获得的最大值。实际上对于区间[i,j]只有几种可能，首先对于一个大区间，我们很容易想到拆成小区间来解决。所以很明显用一个k来循环，dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j])，其次当$gcd(key[i],key[j]) != 1$时，这时有两种情况：
1.$j = i + 1$，在这种情况下，很显然dp[i][j] = value[i] + value[j]。
2.$j != i + 1$，这时只有当区间[i + 1, j - 1]中所有的数字都被取走了的时候，dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - 1] + value[i] + value[j]),这个条件可以通过判断dp[i + 1][j - 1]的值是否等于value[i + 1]~value[j - 1]的和来得到。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;

const int kMaxn = 300 + 5;

ll dp[kMaxn][kMaxn];
ll key[kMaxn];
ll value[kMaxn];
ll sum[kMaxn];

ll Gcd(ll a, ll b) {
  if(a % b == 0)
    return b;
  return Gcd(b, a % b);
}

int main() {
  int t;
  scanf("%d", &t);
  while(t--) {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    sum[0] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
      scanf("%lld", &key[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
      scanf("%lld", &value[i]);
      sum[i] = sum[i - 1] + value[i];
    }
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int len = 2; len <= n; len ++) {
      for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
        int j = i + len - 1;
        for(int k = i; k < j; k++)
          dp[i][j] = max(dp[i][k] + dp[k + 1][j], dp[i][j]);
        if(Gcd(key[i], key[j]) != 1)
          if(j == i + 1)  
            dp[i][j] = value[i] + value[j]; 
          else if(dp[i + 1][j - 1] == sum[j - 1] - sum[i])
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + value[i] + value[j];
      }
    }
    printf("%lld\n", dp[1][n]);
  }
  return 0;
}