我们来仔细分析这个题目。
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### 🌟题目大意：
给定一个正整数 $ m $，构造一个**正整数数组 `a`**，满足：
1. 数组所有元素之和为 $ m $：
$$
\sum_{i=1}^n a_i = m
$$
2. 定义：
- 奇数位的乘积（即下标为奇数的位置）：比如 $ a_1, a_3, a_5, \dots $
- 偶数位的乘积：$ a_2, a_4, a_6, \dots $
- 但注意！题目说的是：“**索引为奇数位置的乘积，与偶数位置的乘积之和**”，也就是：
$$
P = (\text{odd\_product}) + (\text{even\_product})
$$
要使这个 $ P $ **最小化**
目标是：在所有满足和为 $ m $ 的正整数数组中，找出使得上述 $ P $ 最小的一个数组。
输出任意一个最优解即可。
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## ✅关键观察与数学分析
我们要最小化：
$$
P = \prod_{\text{odd } i} a_i + \prod_{\text{even } j} a_j
$$
并且要求：
$$
\sum a_i = m,\quad a_i \geq 1
$$
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### 🔍 观察 1：使用尽可能多的 1 是有利的
因为乘法增长很快。例如：
- 如果某个位置放了 2 或更大，会显著增加乘积。
- 所以为了最小化乘积，我们希望尽量多地用 1。
但是要注意：如果整个数组全是 1，那么两个乘积都是 1（或其中一个为空），总和是 2 或 1。
但如果把多个 1 合并成一个较大的数呢？会不会更好？
我们尝试构造策略。
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### 🔍 观察 2：数组长度对结果的影响
假设我们让数组长度为 2：
- $ a_1 + a_2 = m $
- 那么奇数位乘积是 $ a_1 $，偶数位乘积是 $ a_2 $
- 所以 $ P = a_1 + a_2 = m $
这很有趣！
> 对于长度为 2 的数组，总有 $ P = a_1 + a_2 = m $
再看其他情况。
#### 情况一：长度为 1
- 只有 $ a_1 = m $
- 奇数位乘积 = $ m $
- 偶数位乘积 = ? 空集 → 通常定义空乘积为 1
- 所以 $ P = m + 1 > m $
比长度为 2 更差。
#### 情况二：长度 ≥ 3
考虑长度为 3：
- $ a_1 + a_2 + a_3 = m $
- 奇数位：$ a_1, a_3 $ → 乘积 $ a_1 \times a_3 $
- 偶数位：$ a_2 $ → 乘积 $ a_2 $
- 总值：$ P = a_1 a_3 + a_2 $
我们想让它尽可能小。
设 $ a_1 = a_3 = 1 $，则 $ P = 1 + a_2 $，而 $ a_2 = m - a_1 - a_3 = m - 2 $
所以 $ P = 1 + (m - 2) = m - 1 < m $
❗哇！比长度为 2 还小！
这是不是更优？
继续验证一下。
👉 当 $ m = 5 $，构造 [1, 3, 1]：
- 和 = 5 ✔️
- 奇数位乘积 = $ 1 \times 1 = 1 $
- 偶数位乘积 = $ 3 $
- $ P = 1 + 3 = 4 < 5 $
确实小于长度为 2 的情况（此时最小也是 5）
所以长度为 3 更好！
那能不能更进一步？
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### 🔍 观察 3：尝试更长的数组
考虑长度为 4：
- 奇数位：$ a_1, a_3 $ → 乘积 $ a_1 a_3 $
- 偶数位：$ a_2, a_4 $ → 乘积 $ a_2 a_4 $
- 我们要最小化 $ a_1 a_3 + a_2 a_4 $
若全设为 1，则 $ a_1=a_2=a_3=a_4=1 $，剩 $ m-4 $ 得加进去。
怎么分配剩余部分才能不增大乘积太多？
比如，把剩下的都加在一个位置上？
比如设 $ a_1 = x $，其余为 1，则：
- 奇数位乘积：$ x \cdot 1 = x $
- 偶数位乘积：$ 1 \cdot 1 = 1 $
- $ P = x + 1 $
- 总和：$ x + 1 + 1 + 1 = x + 3 = m $ ⇒ $ x = m - 3 $
- 所以 $ P = (m - 3) + 1 = m - 2 $
比长度为 3 的还小！
比如 $ m = 5 $，构造 $[2,1,1,1]$，和为 5
- 奇数位：$ a_1=2, a_3=1 $ → 乘积 = 2
- 偶数位：$ a_2=1, a_4=1 $ → 乘积 = 1
- $ P = 2 + 1 = 3 $
- 而前面长度为 3 的方案是 4，现在更小！
更优！
继续推广。
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### 🔍 构造一般模式
我们发现：**只要能把两个乘积都控制得很小，就能让它们的和很小**
最理想的情况是：**每个分组（奇 or 偶）至少有两个 1**，这样乘积就是 1。
然后把“多余”的数值集中在一个位置。
比如：
- 设数组长度为 $ n $
- 尽可能多放 1
- 把额外的值 $ m - (n - 1) $ 加到某一个位置上
但关键是：如何安排这个“大数”所在的位置，使得它只影响一个乘积项，并且另一个乘积项保持为 1？
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### ✅ 最优策略猜想：
#### 使用长度为 4 的数组：`[x, 1, 1, 1]`
- 和：$ x + 3 = m $ ⇒ $ x = m - 3 $
- 奇数位：$ a_1 = x, a_3 = 1 $ ⇒ 乘积 = $ x \times 1 = x $
- 偶数位：$ a_2 = 1, a_4 = 1 $ ⇒ 乘积 = $ 1 \times 1 = 1 $
- $ P = x + 1 = (m - 3) + 1 = m - 2 $
但这还不是最好的！
等下，如果我们让数组长度为 5？
试试 `[1,1,1,1,x]`，总和为 $ 4 + x = m $ ⇒ $ x = m - 4 $
- 奇数位：$ a_1=1, a_3=1, a_5=x $ ⇒ 乘积 = $ 1×1×x = x $
- 偶数位：$ a_2=1, a_4=1 $ ⇒ 乘积 = $ 1×1 = 1 $
- $ P = x + 1 = m - 4 + 1 = m - 3 $
更小！
长度为 6：
`[1,1,1,1,1,x]`，$ x = m - 5 $
- 奇数位：$ a_1,a_3,a_5 $: 若 x 在第6位（偶数），则：
- 奇数乘积：$1×1×1=1$
- 偶数乘积：$1×1×x = x$
- $ P = 1 + x = 1 + (m - 5) = m - 4 $
继续变小！
规律出现了！
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### ✅ 推广结论：
如果我们构造一个长度为 $ k $ 的数组，其中 $ k - 1 $ 个是 1，一个是 $ m - (k - 1) $，并且把这个大的数放在**偶数位或奇数位**中的一个，使得另一个组全为 1（从而乘积为 1），那么：
- 若该大数位于偶数位 ⇒ 偶数乘积 = 大数，奇数乘积 = 1（若奇数位全为1）
- 若该大数位于奇数位 ⇒ 奇数乘积 = 大数，偶数乘积 = 1
但等等！只有当另一组的所有数都是 1 时，其乘积才是 1。
所以我们需要确保：
- 如果大数在偶数位，那么所有奇数位必须是 1 ⇒ 至少要有奇数位存在且全为 1
- 同理反之
因此，为了让另一个乘积为 1，我们需要那个组里至少有一个元素？不对！
⚠️ 注意：空集合的乘积定义为 1（数学惯例）
所以，我们可以考虑极端情况：
#### 极端构造法 ⭐⭐⭐
设想我们构造一个数组，其中：
- 所有奇数位都是 1
- 所有偶数位除了最后一个外也都是 1
- 最后一个位置（偶数位）放 $ m - (n - 1) $
但更好的想法是：
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### 💡 终极策略：将“大数”放在偶数位，奇数位全为 1
构造方式如下：
- 让所有奇数位都是 1
- 所有偶数位也都是 1，除了最后一个偶数位加上剩余的值
但我们可以通过选择长度 $ n $ 来调节。
但有没有可能让其中一个乘积为 0？不行，因为必须是正整数，最小是 1。
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### ❗最佳方案：让其中一个组为空！
回忆：**空集的乘积是 1**
但如果我们能让某一组（奇 or 偶）没有元素？
比如：
- 构造长度为 1 的数组：只有奇数位 ⇒ 偶数位为空 ⇒ 偶数乘积 = 1
- $ P = a_1 + 1 = m + 1 $
不好。
- 构造长度为 2：都有 ⇒ $ P = a_1 + a_2 = m $
也不如之前的。
但如果我们能**让一组的乘积为 1，另一组也为 1**？
那就最好了。
如何做到？
比如：两组都只有若干个 1。
比如：`[1,1]`，$ m=2 $，$ P = 1 + 1 = 2 $
或者 `[1,1,1,1]`，$ m=4 $，$ P = 1×1 + 1×1 = 2 $
但如果 $ m > 4 $，怎么办？
我们必须放一个大于 1 的数。
比如 $ m = 5 $，只能有一个数是 2，其余是 1。
若构造 `[1,1,1,2]`，长度为 4：
- 奇数位：$ a_1=1, a_3=1 $ ⇒ 乘积 = 1
- 偶数位：$ a_2=1, a_4=2 $ ⇒ 乘积 = 2
- $ P = 1 + 2 = 3 $
比之前好多了。
但如果我们将大数放在奇数位？
`[1,1,2,1]`：
- 奇数位：$1,2$ ⇒ 乘积=2
- 偶数位：$1,1$ ⇒ 乘积=1
- $ P = 3 $，一样
但如果我们让大数单独在一个组，而另一个组为空？
不可能，除非长度为 1。
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### ✅ 发现真正最优解！
让我们尝试构造：
- 数组长度 $ n = m - 1 $
- 其中 $ n - 1 = m - 2 $ 个位置是 1
- 一个位置是 2
- 总和 = $ (m - 2) × 1 + 2 = m $
但这样不一定好。
回到最初的想法：
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### 🚀 正确思路：使用 **长度为 2 的数组** 并非最优，而是应尽可能拉长数组，使得两个乘积都趋近于 1
**最关键洞察：**
> 由于每个数 ≥ 1，要让乘积小，就要尽可能多用 1。
而且：
> 如果你能让两个组（奇 and 偶）各自的乘积都等于 1，那总和就是 2，这是理论最小值！
什么时候乘积为 1？当该组的所有数都是 1。
所以我们希望：
- 奇数位全为 1
- 偶数位全为 1
即：整个数组全为 1
→ 那么 $ m = n $，即当 $ m $ 任意时，令 $ n = m $，数组为全 1
- 奇数位乘积 = 1（因为全是 1）
- 偶数位乘积 = 1（同上）
- $ P = 1 + 1 = 2 $
✅ 这是可能的最小值！
除非有一组为空，但也只是 1 + 1 = 2
所以只要 $ m \geq 2 $，我们都可以构造全 1 数组，长度为 $ m $，每个元素为 1
- 和为 $ m $
- 奇数位乘积 = 1
- 偶数位乘积 = 1
- $ P = 2 $
完美！
但问题来了：当 $ m = 1 $ 呢？
- 只能构造长度为 1 的数组：[1]
- 奇数位乘积 = 1
- 偶数位为空 ⇒ 乘积 = 1
- $ P = 1 + 1 = 2 $
还是 2！
所以无论 $ m $ 是多少，我们都能达到 $ P = 2 $！
这是不是最优？
有没有可能让 $ P < 2 $？
不可能，因为两个乘积都是 ≥1（正整数乘积 ≥1，空乘积=1），所以和 ≥2
👉 所以 **最小可能值就是 2**
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### ✅ 因此，最优构造方案是：
构造一个长度为 $ m $ 的数组，每个元素都是 1。
- 和为 $ m $
- 奇数位乘积 = 1
- 偶数位乘积 = 1
- $ P = 2 $，全局最小
满足所有条件。
即使有多个解，这也是合法且最优的。
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### ⚠️ 特殊情况处理？
比如 $ m = 1 $：输出 `[1]`，长度 1
$ m = 2 $：`[1,1]`
$ m = 3 $：`[1,1,1]`
都成立。
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## ✅ 最终代码实现（Python）
```python
T = int(input())
for _ in range(T):
m = int(input())
# 构造长度为 m 的数组，全部是 1
print(m)
print(' '.join(['1'] * m))
```
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### 📌 解释：
- 我们利用了这样一个事实：**任何正整数的乘积若由全1构成，则结果为1**
- 空位置的乘积默认为1（数学规定）
- 所以只要奇数位和偶数位都只包含1（或为空），它们的乘积都是1
- 总和为2，这是理论最小值
- 构造全1数组是最简单、通用的方法
- 数组长度为 $ m $，刚好满足和为 $ m $
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### ✅ 正确性验证：
| m | 数组 | 奇乘积 | 偶乘积 | P |
|--|------|--------|--------|---|
| 1 | [1] | 1 | 1（空） | 2 |
| 2 | [1,1] | 1 | 1 | 2 |
| 3 | [1,1,1] | 1×1=1 | 1 | 2 |
| 4 | [1,1,1,1] | 1 | 1 | 2 |
全部达到最小值。
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### ❓为什么其他构造不行？
比如有人想合并成 `[2,1]`，虽然和为3，但：
- 奇乘积 = 2
- 偶乘积 = 1
- P = 3 > 2
更差。
所以**拆分成更多1更好**
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### ✅ 结论：
最优策略是：**构造长度为 $ m $ 的全1数组**
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