统计数字问题

问题描述如下：
一本书的页码从自然数1开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如第6页用6表示而不是06或006。数字统计问题要求对给定书的总页码，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0,1,2,3,.....9。

 

 

《算法设计与分析习题》分析：

考察由0,1,2...9组成的所有n位数。从n个0到n个9共有10^n个n位数。在这10^n个n位数中，0,1,2.....9第个数字使用次数相同，设为f(n)。f(n)满足如下递推式：
n>1:    f(n) = 10f(n-1)+10^(n-1)
n = 1:  f(n) =1
由此可知，f(n) = n*10^(n-1)。
据此，可从高位向低位进行统计，再减去多余的0的个数即可。

【注：代码中的文字例子描述引用自http://blog.youkuaiyun.com/jcwKyl/archive/2008/10/02/3009244.aspx】

 

// 比如，对于一个数字34567，我们可以这样来计算从1到34567之间所有数字中每个数字出现的次数： // 从0到9999，这个区间的每个数字的出现次数可以使用原著中给出的递推公式，即每个数字出现4000次。 // 从10000到19999，中间除去万位的1不算，又是一个从0000到9999的排列，这样的话，从0到34567之间 // 的这样的区间共有3个。所以从00000到29999之间除万位外每个数字出现次数为3*4000次。然后再统计 // 万位数字，每个区间长度为10000，所以0,1,2在万位上各出现10000次。而3则出现4567+1=4568次。 // 之后，抛掉万位数字，对于4567，再使用上面的方法计算，一直计算到个位即可。 void countNumFast(int num[],int number) { int pow10[10]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000}; int i=-1; bool flag=true; int _m=0;//number位数 int n=number; for (int k=9;k>=1;k--)//个位数另处理 { if (n/pow10[k]!=0) { i=k+1;//n此时是i位数字 if (flag)//记录传入的数的位数，做标记使得后续不能修改 { _m=i; flag=false; } int hi=n/pow10[i-1];//最高位数 //1.记录低于最高位的数字次数 for (int j=0;j<=9;j++)//低于最高位的所有数,有n*10^(n-1)个，一共(hi-0)次 num[j]+=(hi-0)*(i-1)*pow10[i-2]; //2.记录最高位上小于hi的次数 for (int j=0;j<=hi-1;j++)//从0到hi-1每个数字出现10^(i-1)次 num[j]+=pow10[i-1]; //3.记录最高位hi的次数 num[hi]+=n%(pow10[i-1])+1;//最高位hi的次数，等于n%10^(n-1)次+1，加1是为了把低位的0也计算 n=n%pow10[i-1];//去掉高位 } } for (int j=0;j<=n;j++) num[j]+=1; for (int j=_m-1;j>=0;j--)//去掉多余0 { num[0]-=pow10[j]; } }  

 

 

计算还挺烦的。。呼，幸好有文字描述的例子才慢慢推出来。