34、基于矩阵代数的仿射循环不变式生成

基于矩阵代数的仿射循环不变式生成

在程序分析领域，循环不变式对于理解和验证程序的正确性至关重要。本文将探讨如何通过矩阵代数方法生成仿射循环的不变式，涵盖了不同类型的循环，包括具有确定性更新和非确定性更新的循环，以及不同形式的循环条件。

1. 仿射循环的基本形式

一个具有确定性更新和单分支的仿射循环形式如下：

initial condition θ : R · x + f ≤0
while G do x′ = T · x + b; end

我们的目标是找到非平凡的仿射不变式，即 $c^T · x + d ≤0$ （其中 $c \neq 0$）。根据循环条件的不同，结果分为以下两种情况：
- 当循环条件为 true 时，只有有限个独立的非平凡不变式，其中 $c$ 是转移矩阵 $T$ 的转置的特征向量。
- 当循环条件不是重言式时，可能存在无限多个非平凡不变式，$c$ 由关于 $\mu$ 的直接公式给出。此时，我们需要推导 $\mu$ 的可行域，并从中选择有限个最优的（称为紧密选择）。

2. 从 Farkas 表导出约束条件

为了找到满足要求的不变式，我们需要从 Farkas 表中导出一些约束条件，分为初始化和递推两个方面。

2.1 初始化约束

通过比较 Farkas 表中 $x$ 的系数和常数项，我们得到以下约束：
- $\lambda^T · R = c^T \Rightarrow R^T · \lambda = c$ （式 1）