19、控制与系统工程中的参数和变量估计方法详解

控制与系统工程中的参数和变量估计方法详解

在控制与系统工程领域，参数和变量的估计是一项至关重要的任务。准确的估计能够帮助我们更好地理解系统的行为，做出合理的决策。本文将深入探讨几种常见的估计方法，包括贝叶斯估计、非随机估计以及最大似然估计，并介绍与之相关的重要概念，如Cramér - Rao界。

1. 成本函数与贝叶斯风险

在进行估计时，我们通常会定义一些成本函数来衡量估计的误差。常见的成本函数有以下三种：
- 均方（MS）成本函数 ：$C_{\delta}(x, y) := (\hat{x}(y) - x)^2$
- 绝对值（ABS）成本函数 ：$C_{\delta}(x, y) := |\hat{x}(y) - x|$
- 均匀（UNF）成本函数 ：$C_{\delta}(x, y) := \begin{cases} 0, & \text{for } |\epsilon(y)| \leq \Delta/2 \ 1, & \text{for } |\epsilon(y)| > \Delta/2 \end{cases}$

由于我们通常不知道真实的 $x$ 值，所以无法直接计算成本函数。因此，我们引入了贝叶斯风险 $\mathcal{R}$，它是成本函数的期望值：
$\mathcal{R} = E{C_{\delta}(x, y)} = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} C_{\delta}(x, y) f_{XY}(x, y) dx dy$