16、控制与系统工程中的数学工具：可观测性与参数估计

控制与系统工程中的数学工具：可观测性与参数估计

在控制与系统工程领域，可观测性和参数估计是两个重要的概念。可观测性用于判断系统的状态是否可以通过输出测量来确定，而参数估计则是在存在噪声的情况下，对系统的参数和变量进行估计。

1. 可观测性的概念

可观测性有多种类型，包括局部可观测性、全局可观测性、局部弱可观测性和弱可观测性。在集合 $\mathcal{M}$ 中，状态轨迹可能只位于 $\mathcal{M}$ 的一个子集内。局部可观测性蕴含了全局可观测性和局部弱可观测性，而后两者是较弱的性质。全局可观测性允许状态轨迹覆盖整个集合 $\mathcal{M}$，局部弱可观测性允许任何状态在其开放邻域之外有不可区分的伙伴。最弱的性质是弱可观测性，它允许状态轨迹在整个集合 $\mathcal{M}$ 中，并且在开放邻域之外有不可区分的伙伴。有趣的是，对于线性系统，这四个概念没有区别；如果一个自治线性系统根据定义是可观测的，那么它满足所有四个定义。

2. 非线性自治系统可观测性的评估

非线性可观测性的评估并不直接，但可以推导出一个代数测试来检查局部弱可观测性。考虑一般的自治非线性系统：
[
\begin{cases}
\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}) \
y(t) = g(\mathbf{x})
\end{cases}
]
输出的导数 $\dot{y}(t)$ 可以表示为：
[
\dot{y}(t) = \frac{\partial g(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} \mathbf{f}(\mat