24、细粒度空间复杂度、线性空间假设及煎饼图的容错哈密顿性研究

细粒度空间复杂度、线性空间假设及煎饼图的容错哈密顿性研究

1. 布尔值矩阵与算法规约

在相关研究中，对于矩阵 (T_i) 有特定的定义方式。使用相同符号 (v) 来表示布尔值序列和行索引。对于每个索引 (v \in [N])，(T_i) 的第 (v) 行 (\alpha_{iv} = (a_{v1}, a_{v2}, \ldots, a_{vd})) 定义为：对于任意 (l \in [d])，若 (v \models C_l)，则 (a_{vl} = 0)；否则 (a_{vl} = 1)。设 (w = \langle T_1, T_2, \ldots, T_{\tilde{n}} \rangle)，它是 ({T_1, T_2, \ldots, T_{\tilde{n}}}) 的一种合适编码，且 (mset(w) = N)。

可以证明 (T_i) 有 3/4 块零。具体做法是先按字典序枚举 ({0, 1}^d) 中的所有元素，并将它们视为 (d) 维的 ({0, 1}) 向量。对于每个索引 (l \in [d])，(C_l) 形式为 (z_{l,k} \vee z_{l,k’})。假设 (z_{l,k}) 和 (z_{l,k’}) 的变量分别为 (x_{e_1}) 和 (x_{e_2})，定义 (e_1’) 和 (e_2’) 如下：
- 任取 (i \in [\tilde{n}])，若 (x_{e_1}, x_{e_2} \in V_i)，则 (e_1’ = e_1 \bmod \tilde{n}) 且 (e_2’ = e_2 \bmod \tilde{n})。
- 若 (x_{e_1} \in V_i) 但 (x_{e_2} \notin V_i)，则 (e_1’ = e_1 \