从周期到非周期：傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶

文档自提~~~~
我和其他博主可能不一样我是纯原理，更多的是从数学出发。。。
不知道对不对，欢迎观众老爷批评指正

前言

傅里叶是谁

傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）是法国数学家和物理学家，生于1768年，卒于1830年。他在热传导理论的研究中提出了傅里叶级数和傅里叶变换的概念，这些概念后来成为现代科学和工程领域中分析和处理信号与系统的基本工具。

什么是傅里叶级数（Fourier Series）

傅里叶级数是将一个周期函数表示为正弦和余弦函数的无限和的数学方法。如果一个函数$ f(t) $是周期为$ T $的周期函数，那么它可以表示为：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]$$

其中，$a_0$，$a_n$，和$b_n$是傅里叶系数，可以通过特定的积分公式计算得到。傅里叶级数适用于周期函数，能够将复杂的周期函数分解为一系列简单正弦波和余弦波的叠加。

什么是傅里叶变换（Fourier Transform）

傅里叶变换是将非周期函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的积分变换。它是傅里叶级数的推广，适用于所有函数，包括周期和非周期函数。对于非周期函数$f(t)$，其傅里叶变换定义为：

$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

其中，$\omega$是角频率，$i$是虚数单位。傅里叶变换提供了一种将时域信号转换为频域信号的方法，揭示了信号的频率成分。逆傅里叶变换可以将频域信号转换回时域：

$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

基本概念

1. 周期函数与非周期函数：

   • 周期函数是指在固定周期内重复的函数，例如正弦波和余弦波。
   • 非周期函数没有固定的重复周期，例如一个简单的脉冲信号。

2. 正弦波和余弦波：

   • 正弦波和余弦波是基本的周期函数，它们的数学表达式分别是$\sin (\omega t)$和$\cos (\omega t)$，其中$\omega$是角频率，$t$是时间。

3. 频率与角频率：

   • 频率是单位时间内周期函数重复的次数，单位是赫兹（Hz）。
   • 角频率是频率乘以$2\pi$，单位是弧度/秒。

傅里叶级数

傅里叶级数的数学表达

对于周期为$T$的周期函数$f(t)$，傅里叶级数可以表示为：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]$$

计算傅里叶系数

系数$a_0$，$a_n$，和$b_n$可以通过以下公式计算：

• $a_0$是函数在一个周期内的平均值：
  $a_0=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)dt$

• $a_n$和$b_n$是余弦和正弦项的系数：
  $a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$
  $b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

正交性和帕塞瓦尔定理

正交性

正弦和余弦函数在周期$ T $内是正交的，这意味着它们在周期内的乘积积分为零。

• 正弦和余弦函数在周期$ T $内是正交的，这意味着：

  ${\int }_{-T/2}^{T/2}\cos \left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=0\text{for}m\ne n$
  ${\int }_{-T/2}^{T/2}\sin \left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=0\text{for}m\ne n$
  ${\int }_{-T/2}^{T/2}\cos \left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=0$

  对于$ m = n $，积分不为零，而是等于$ T/2 $。

帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理（也称为帕塞瓦尔-贝塞尔定理）是傅里叶分析中的一个基本结果，它将函数在时域的能量与其傅里叶系数在频域的能量联系起来。对于周期函数$ f(t) $，其傅里叶级数表示为：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]$$

帕塞瓦尔定理表明，函数$ f(t) $在一个周期内的能量（即平方的积分）等于其傅里叶系数的平方和，乘以周期$ T $：

$$\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}|f(t){|}^{2}dt=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$

这个定理提供了一个将时域信号的能量与其频域表示联系起来的桥梁，是信号处理中的一个重要工具。

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数在某些条件下收敛到原始函数，例如函数必须是分段连续的，并且在任何周期内只有有限个不连续点。

1. 分段连续性：函数$f(t)$必须在每个周期内是分段连续的，这意味着函数在一个周期内可以有有限个有限的跳跃。

2. 有限个不连续点：函数$f(t)$在任何周期内只能有有限个不连续点。

3. 绝对可积性：函数$f(t)$必须在一个周期内绝对可积，即：${\int }_{-T/2}^{T/2}|f(t)|dt<\infty$

3. 计算$a_0$

为了找到$ a_0 $，我们将$ f(t) $乘以1（即$ \cos(0) $）并在一个周期内积分：

$${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\cdot 1dt={\int }_{-T/2}^{T/2}\left(\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_n\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)\right]\right)dt$$

利用正交性，所有涉及$\cos$和$\sin$的项都会积分为零，只剩下：

${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)dt=\frac{a_0}{2}{\int }_{-T/2}^{T/2}dt$

解得：

$a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)dt$

4. 计算$a_n$

为了找到$a_n$，我们将$f(t)$乘以$\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)$并在一个周期内积分：

${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt={\int }_{-T/2}^{T/2}\left(\frac{a_0}{2}+{\sum }_{m=1}^{\infty }\left[a_m\cos \left(\frac{2\pi mt}{T}\right)+b_m\sin \left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\right]\right)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

利用正交性，只有$ m = n $的项会保留：

${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=a_n{\int }_{-T/2}^{T/2}{\cos }^2\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

由于${\int }_{-T/2}^{T/2}{\cos }^2\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=\frac{T}{2}$，我们得到：

$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

5. 计算$b_n$

类似地，为了找到$b_n$，我们将$f(t)$乘以$\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)$并在一个周期内积分：

${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt={\int }_{-T/2}^{T/2}\left(\frac{a_0}{2}+{\sum }_{m=1}^{\infty }\left[a_m\cos \left(\frac{2\pi mt}{T}\right)+b_m\sin \left(\frac{2\pi mt}{T}\right)\right]\right)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

利用正交性，只有$ m = n $的项会保留：

${\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=b_n{\int }_{-T/2}^{T/2}{\sin }^2\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

由于${\int }_{-T/2}^{T/2}{\sin }^2\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt=\frac{T}{2}$，我们得到：

$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)\sin \left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt$

从周期到非周期：傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数是用于表示周期函数的，它将周期函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的和。

对于非周期函数，我们可以使用类似的概念，但是需要将周期$T$视为无限大。这样，离散的频率$n$（在傅里叶级数中）变成了连续的频率$\omega$，傅里叶级数变成了傅里叶变换。

傅里叶变换的定义

对于非周期函数$ f(t) $，傅里叶变换定义为：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$
其中，$\omega$是角频率，$i$是虚数单位，$e^{-i\omega t}$是复指数函数。

逆傅里叶变换用于从频域回到时域：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$$

复指数形式

使用复指数$e^{i\omega t}$来表示正弦和余弦函数可以简化傅里叶变换的计算。欧拉公式表明：
$$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$$

因此，我们可以将正弦和余弦函数用复指数表示：

$$\cos (\theta )=\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$$

$$\sin (\theta )=\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$$

这种表示方式使得傅里叶变换可以用单一的复指数函数来表达，简化了计算和理论推导。

理解傅里叶变换的物理意义

傅里叶变换的物理意义在于，它将时域信号转换为频域信号，揭示了信号的频率成分。对于任何给定的非周期信号，傅里叶变换提供了一个描述其频率成分的函数。

学习傅里叶变换的性质

• 线性：傅里叶变换是线性操作。
• 时移性质：如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，那么$f(t-t_0)$的傅里叶变换是$e^{-i\omega t_0}F(\omega )$。
• 频移性质：如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，那么$e^{i{\omega }_{0}t}f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega -{\omega }_0)$。
• 卷积定理：两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积。

FFT算法

1. DFT的定义：
   离散傅里叶变换（DFT）定义为：

   $$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-i2\pi kn/N},k=0,1,\dots ,N-1$$
   其中，$x[n]$是时域信号，$X[k]$是频域信号，$N$是样本点数。

2. FFT算法：
   FFT算法通过利用DFT的对称性和周期性，减少了复数乘法和加法的次数，从而提高了计算效率。最常用的FFT算法是Cooley-Tukey算法，它是一种分而治之的算法。

3. 分而治之：
   Cooley-Tukey算法将DFT分解为更小的DFT，通常是大小为$N/2$的DFT。这个过程递归地继续，直到DFT的大小减少到1，这时不需要进一步计算。

4. 蝶形操作：
   FFT算法中的计算是通过蝶形操作完成的，这是一种基本的复数乘法和加法操作，用于合并较小DFT的结果。

5. 位反转：
   在FFT中，输入数据的顺序通常需要按照位反转的顺序重新排列，这是因为Cooley-Tukey算法的递归分解方式。

代码实现

以下是使用Python的NumPy库进行FFT计算的简单示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 创建一个简单的正弦波信号
t = np.linspace(0, 1, 400, endpoint=False)
freq = 5  # 信号频率为5Hz
amp = 1   # 信号振幅为1
signal = amp * np.sin(2 * np.pi * freq * t)

# 计算FFT
fft_result = np.fft.fft(signal)
fft_magnitude = np.abs(fft_result)

# 绘制原始信号
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, signal)
plt.title('Original Signal')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Amplitude')

# 绘制频谱
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.stem(np.fft.fftfreq(400, (1/400)), fft_magnitude, 'b', markerfmt=" ", basefmt="-b")
plt.title('FFT of the Signal')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.tight_layout()
plt.show()

傅里叶变换的性质

傅里叶变换具有多个重要的性质，这些性质在理论和实际应用中都非常有用。以下是一些关键性质：

1. 线性：
   如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，$g(t)$的傅里叶变换是$G(\omega )$，那么对于任意常数$a$和$b$，$af(t)+bg(t)$的傅里叶变换是$aF(\omega )+bG(\omega )$。

2. 时移性质：
   如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，那么$f(t-t_0)$的傅里叶变换是$e^{-i\omega t_0}F(\omega )$。

3. 频移性质：
   如果$ f(t) $的傅里叶变换是$ F(\omega) $，那么$e^{i\omega_0 t} f(t)$的傅里叶变换是$ F(\omega - \omega_0) $。

4. 对称性：

   • 对于实数函数$f(t)$，其傅里叶变换$F(\omega )$满足共轭对称性：$F(-\omega )=F^{\ast }(\omega )$，其中$F^{\ast }(\omega )$是$F(\omega )$的复共轭。
   • 功率谱的对称性：实数函数的功率谱是偶函数，即$|F(\omega ){|}^2=|F(-\omega ){|}^2$。

5. 调制（乘以复指数）：
   如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，那么 $f(t)\cdot e^{i{\omega }_{0}t}$的傅里叶变换是$F(\omega -{\omega }_0)$。

6. 尺度变化：
   如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，那么$f(at)$的傅里叶变换是$\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega }{a}\right)$。

7. 微分：
   如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，那么$f^{\prime }(t)$的傅里叶变换是$i\omega F(\omega )$。

8. 积分：
   如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，那么${\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$的傅里叶变换是$\frac{F(\omega )}{i\omega }+\pi F(0)\delta (\omega )$，其中$\delta (\omega )$是狄拉克δ函数。

卷积定理

卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一，它表明两个函数卷积的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的乘积。数学表达式为：

如果$f(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )$，$g(t)$的傅里叶变换是$G(\omega )$，那么卷积$(f\ast g)(t)$的傅里叶变换是$F(\omega )G(\omega )$。

这意味着在时域中的卷积操作可以转换为频域中的乘法操作，这在许多应用中大大简化了计算。

高级主题

1. 小波变换（Wavelet Transform）：

   • 小波变换是一种能够同时提供时域和频域信息的分析工具。与傅里叶变换相比，小波变换通过使用不同尺度的小波函数来分析信号，能够捕捉信号的局部特性。
   • 应用包括图像去噪、压缩、纹理分析等。

2. 短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）：

   • 短时傅里叶变换是傅里叶变换的扩展，它通过将信号分割成短时间帧来分析信号的局部频率特性。
   • STFT适用于非平稳信号（信号的频率随时间变化）的分析。
   • $V_g(x)(t,\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )\overline{g(\tau )}{e}^{-i\omega \tau }d\tau$
     其中，$x(t)$是信号，$g(t)$是窗函数，$\omega$是角频率。

3. 小波包变换（Wavelet Packet Transform）：

   • 小波包变换是小波变换的一种推广，它允许更灵活的分解结构，可以适应不同类型信号的分析需求。

   • 连续小波变换（CWT）的公式为：

   • $W_f(a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)\overline{\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)}dt$

     其中，$f(t)$是信号，$\psi (t)$是小波函数，$a$是尺度参数，$b$是平移参数。

4. 调制谱分析（Modulation Spectral Analysis, MSA）：

   • 调制谱分析是一种分析调制信号频谱的方法，它结合了傅里叶变换和小波变换的特点。

5. Wigner-Ville 分布和Hough变换：

   • 这些是用于时频分析的方法，可以提供信号的时频能量分布。

   • $W_f(t,\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t+\tau /2)f^{\ast }(t-\tau /2)e^{-i\omega \tau }d\tau$

     其中，$f(t)$是信号，$f^{\ast }(t)$是信号的复共轭，$t$是时间，$\omega$是角频率。

6. 分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）：

   • 分数傅里叶变换是傅里叶变换的一种推广，它允许在时频平面上进行任意角度的旋转。

   • $F_{\alpha }(f)(u)=\sqrt{1-i\cot (\alpha )/\pi }{e}^{i\pi \cot (\alpha )u^2/\sin (\alpha )}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i2\pi xu/\sin (\alpha )-i\alpha x^2/2}dx$

     其中，$\alpha$是变换的顺序参数（$0\le \alpha \le 2\pi$），$f(x)$是原始信号，$u$是变换后的变量。

应用实例

1. 信号处理：

   • 滤波：使用傅里叶变换设计滤波器，以去除噪声或提取信号的特定频率成分。
   • 频谱分析：分析信号的频率成分，如音乐信号的频谱分析。

2. 图像处理：

   • 图像压缩：使用傅里叶变换将图像转换到频域，然后通过丢弃高频成分来压缩图像。
   • 图像去噪：通过在频域中滤除噪声来改善图像质量。

3. 通信：

   • 调制和解调：使用傅里叶变换进行信号的调制和解调，以实现信息的传输。
   • 信道分析：分析通信信道的频率响应，以优化信号传输。

4. 量子物理：

   • 波函数分析：使用傅里叶变换分析量子系统的波函数，以理解其动力学行为。