qwerth_754的博客

状态dp[i][j]表示考虑前i个物品，恰好​ 达到条件j时的最优值。特点：要求严格满足条件，不能多也不能少。典型应用：01背包问题中要求恰好装满背包的情况。理解"恰好"、"至少"和"至多"三种状态定义的区别，是掌握动态规划的关键。恰好：严格相等，初始化严格至少：允许超额，转移特殊处理至多：允许不足，初始化宽松在解题时，选择正确的状态定义，配合恰当的初始化和状态转移，才能得到正确的答案。希望通过本文的介绍，能帮助大家更好地区分和应用这三种状态定义。

摘要：二维前缀和是一种高效计算矩阵子区域和的技术。通过预处理构建前缀和矩阵sum，其中sum[i][j]表示从(0,0)到(i,j)的矩形区域和。利用公式sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]可在O(1)时间内完成任意子矩阵求和。实现时建议从1开始索引并添加0值边界，使用long long防止溢出。预处理时间复杂度O(n×m)，查询O(1)，适用于大规模矩阵查询场景。

在一些时候，只是使用c++自带的sort函数并不能满足我们对排序的需求，这时候就需要用到利用自定义比较函数了；// 定义比较函数：降序排列// 当a>b时返回true，表示a应该排在b前面// 使用自定义比较函数排序// 输出：9 6 5 4 3 2 1 1return 0;int score;int age;// 假设我们增加一个年龄字段// 使用Lambda表达式：按成绩降序，成绩相同时按年龄升序// 首先，按成绩降序// 成绩相同，则按年龄升序});

st表：静态求区间最值的一种数据结构，是稀疏表，本质是dp。练习题：蓝桥区间最大值。

对于判断n是否是素数有O(sqrt(n))的方法，如果标记n以内的素数时间复杂度为O(nsqrt(n))，所以引出素数筛。(因为i已经可被prime[j]整除，所以k中一定可以分解出一个更小的质因数prime[j])但是埃氏筛可能会将一个素数的倍数进行重复标记（如16是2的倍数也是8的倍数）,就会浪费时间。

假设n为6，二进制：0110，6-lowbit(6）=0100为4，4-lowbit(4)=0000。方法一：逐次移位&1（相同++），直到移到31位（返回二进制x第一个为1的位置代表的十进制数。负数的反码=符号位不变，其余按位取反。负数的补码=反码+1。为了让减法运算与加法运算统一。

本文介绍了两种高效处理区间查询和修改的数据结构：树状数组和线段树。树状数组（BIT）通过二进制索引实现O(logn)的单点更新和前缀和查询，适合动态序列处理，代码简洁高效。线段树基于分治思想，支持区间查询和修改，通过懒惰标记优化区间更新操作，时间复杂度为O(logn)。文章详细讲解了两种数据结构的核心原理、存储方式和实现模板，包括lowbit运算、数组C[]构建、标记下传等关键技术，并比较了它们的适用场景和性能特点，为算法竞赛和工程应用提供了实用参考。

定义dp[i]为前i+1个人（即索引 0 到 i）过河所需的最小时间。这里，我们假设过河时间已排序，即，其中a[i]是第 i 个人的过河时间（索引从 0 开始）。

Pj,next[j+1]可能的次大值为next[next[j]]+1,以此类推可以高效求出next[j+1](重点)(不同索引的模式串，不同初始化的next都会影响next的含义，这里只解释索引从0开始，初始化0的含义)1.next[j+1]的最大值为next[j]+1；代码中的j有两重含义，（1）练习题：蓝桥斤斤计较的小z。个字符（索引从0开始），

浮点二分相较于整数二分最大的区别就是存在浮点误差，如果循环条件使用l,r，循环多次将会累计浮点误差，导致最后结果产生偏差，所以采用固定的循环次数，在本题中结果保留6位小数，二分每次循环会将范围缩小1/2，100次会缩小1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376，远超结果所需精度。lower_bound: 返回第一个不小于（即大于或等于）目标值的元素位置。假设两个区域：蓝色区域，红色区域，通过控制l，r指针管理不同区域。l指针指向-1，r指针指向n+1。

三分法是你解决单峰优化问题的一把利器。它的核心在于“取三舍一”​ ，通过不断排除不可能包含极值的区间来逼近答案。识别：准确判断问题是否具有单峰性质。实现：熟练运用三等分点比较和区间缩小的代码模板。应用：敢于在复杂问题（如三分套三分）中加以运用。

【代码】并查集模板。

以重心为根时，它的每个子树的大小都不超过整棵树节点总数的一半。1.最近公共祖先LCA查询（倍增LCA）类似于st表。一棵树最多有两个重心，且如果存在两个重心，则它们。定义：树中某个节点，删除它后，使得剩余。