概率论入门-优快云博客

概率，编程与数据分析

从一个笑话谈起
- 概率论的一些基本概念
- 怎么算一个随机事件的概率

从一个笑话谈起

有关的数据统计说明：在飞机上碰到有人携带炸弹的概率大概是100万分之一，而一架飞机上有两人同时携带炸弹的概率是万亿分之一。于是，有一个数学家自带了一颗炸弹上了飞机，他认为这样做会尽可能提高了自己的安全性。你怎么看？

当然，这个行为并不会让他更安全，那不过是一种心理安慰罢了！
我们通常所说的概率是用来衡量一件事统计意义上的不确定性。

我们生活中的客观现象可以分为两大类：

1. 确定性现象:
  比如：太阳东升西落，在标准大气压下纯水在100℃时沸腾等，它们在一定条件下结果总是确定的；
1. 非确定性现象:
  比如：拋一枚硬币若干次，每次拋之前都不知道是否正面朝上，每届世界杯足球赛开始前，冠军都是未知的，它们在事前总是不可预言的；

概率论的一些基本概念

1. 随机试验:
- A.在相同条件下可重复；
- B.试验结果可能不止一个，但在试验前就明确结果有哪些；
- C.一次试验结束前，不能确切的知道那个结果会出现；
  满足上面三个特性的试验称为随机试验；

举个栗子：
拋一枚硬币，有两种情况：正面朝上H和背面朝上T；
可以反复拋，每次的结果可能有两种，在拋之前是不确定的，但不会有第三种情况；这就是一个典型的随机试验。
当然，现实中情况可能稍微复杂一些。

现实中，有一定的概率硬币会站立起来。但是在大部分的数学抽象模型中，为了简化问题，我们只考虑H和T两面的情况。而且，根据对称性，这种情形的概率应该是各有50%的可能性；也就是说你抛掷1000次，大约500次朝上，500次朝下，现实中会有一些偏差；但是试验的次数越多，得到的结果就越满足这个比例；在这里插入图片描述
我们可以用python实现一个小程序来模拟这个过程；

import random

countAllHR = 0
countAllTR = 0
tryies = 10000           #　总共做试验的次数
rangeCount = 10000       #  每次投硬币的次数

for i in range(tryies):
    countH = 0
    countT = 0
    countAll = 0
    for i in range(rangeCount):
        num=random.randint(0,1)
        if num==0:
            countH = countH + 1
        else:
            countT = countT + 1  
        countAll=countAll+1
    countAllHR += countH/countAll
    countAllTR += countT/countAll
    
print("Avareage HR is: ", countAllHR/tryies) # 得到H朝上的概率
print("Avareage TR is: ", countAllTR/tryies) # 得到T朝上的概率

在这里插入图片描述

思考：某个罪犯在大马路上被车撞了，这个是随机试验吗？天气预报和炒股是随机试验吗？

1. 随机事件:
  随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件，一般用大写字母A，B，C，。。。表示。
  比如：
  
  我们把单一的试验结果称为一个“基本事件”。比如上面这个例子中：
  0,1,2,3，。。。，9这10个数构成10个的基本事件；

全体基本事件的集合称为基本事件空间，也成为样本空间；

在随机事件中必然发生的事件称为必然事件，用符号Ω表示；
在随机事件中必然不发生的事件称为不可能事件，用符号φ表示；
在这二者之间呢，大部分事件是可能发生或可能不发生；这叫涉及到随机事件可能性的计算问题；

FE思考题概率为0的事件是否是不可能事件，概率为1的事件是否是必然事件；

下面我们来看看怎么来计算一个随机事件的可能性（概率）。
概率：又叫几率，是表示某种事件（情况）出现的可能性大小的一种数量指标，它介于0与1之间。

怎么算一个随机事件的概率

1. 古典概型：
  假设某试验有有限个结果e1,e2,…,eN,假定从该试验的条件及实施方法上分析，每个结果是“等可能的”。比如，投骰子，各面出现的机会是等可能的；

在“等可能的情况下”，引入古典概型：

定义：设一个试验有N个等可能的结果，而事件E恰包含其中的M个结果，则事件E的概率，记为P(E),
定义 P(E) = M/N;
在这里插入图片描述
乍一看，似乎按2/3与1/3的比例分合适；但实际上不太合理。
我们可以看出如果继续比下去，直到结束，应该是：

import itertools
count = 0
for i in itertools.product('甲乙', repeat = 2):
    print(i)
    count += 1

输出：
(‘甲’, ‘甲’)
(‘甲’, ‘乙’)
(‘乙’, ‘甲’)
(‘乙’, ‘乙’)
有四种情况，可以看出，这四种情况的只有最后一种乙才能获胜，所以因该是甲分3/4 * 1000 = 750, 乙分250才合理；

古典概型其实很简单，主要是数数，计数。
怎么很好的计数呢，我们来看两个重要的知识点：
补充两个重要的基础知识（学过的可以忽略）：

A. 加法原理和乘法原理：
B. - B. 排列数与组合数：
这是高中数学的一个难点，很多同学可能没学好，其实没那么难。

关键点：排列有序组合无序

在这里插入图片描述

怎么用Python来实现最基本的排列组合呢？
# coding: utf-8
import itertools

#不放回抽样排列
count = 0
for i in itertools.permutations('ABCD', 2):
     print(i)
     count += 1
print(count)
print()     # 4*4 种情况， 可重复的排列

#有放回抽样排列,可重复
count = 0
for i in itertools.product('ABCD', repeat = 2):
    print(i)
    count += 1
print(count)
print()    # P(2,4)种情况，不可重复的排列


#不放回抽样组合
count = 0
for i in itertools.combinations('ABCD', 2):
    print(i)
    count += 1
print(count)
print()   # C(2,3)种情况，不可重复的组合

#有放回抽样组合,可重复
count = 0
for i in itertools.combinations_with_replacement('ABCD', 2):
    print(i)
    count += 1
print(count)
print()   # C(2,2+4-1)种情况，可重复组合

补充：可重复组合的推理过程

LeetCode上也经常有排列组合的题目：
在这里插入图片描述

class Solution(object):
    def permute(self, nums):
        res = []  #res 用于记录并返回所有排列组合。
        self.excute(nums,[],res)
        return res
        
    def excute(self,nums,path,res): #path用于存放经过的元素
        if not nums:
            res.append(path)
        for i in range(len(nums)):
            self.excute(nums[:i]+nums[i+1:],path+[nums[i]],res) #每经过一个元素，将其从nums中取出，放入path，
 #当nums为空时，就完成一个排列组合。
 
 
if __name__ == "__main__":
    s = Solution()
    print(s.permute([1,2,3]))

古典概率的局限性很显然：只能用于全部试验结果为有限个，且等可能性成立的情况；在某些情况下，这个概念需要引申到试验结果有无限多个的情况，需要“几何概型”。

大家听说过“三个臭皮匠，抵个诸葛亮!” 这句话其实有一定的数学依据。这涉及到概率中的独立性和乘法原理，我们之后会聊到。

大家经常在面试中，在做数据分析时，在做加解密，破解密码时遇到各种概率问题；从一个程序员的角度来看概率问题，更多的细节，可见：
AI的数学基础–概率论与数理统计