动态规划——路径问题：63.不同路径 ||

题目描述

题目链接：63.不同路径 ||

本题为不同路径的变型，只不过有些地⽅有障碍物，只要在状态转移上稍加修改就可解决。

算法原理

1.状态表示

对于这种路径类的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：

• 从 [i, j] 位置出发…
• 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置…

这⾥选择第⼆种定义状态表示的⽅式：
dp[i][j] 表示：⾛到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。

2.状态转移方程

根据最近的一步划分问题。简单分析⼀下。如果 dp[i][j] 表示到达 [i, j] 位置的⽅法数，那么到达 [i, j] 位置之前的⼀⼩步，有两种情况：

• 从 [i, j] 位置的上⽅（ [i - 1, j] 的位置）向下⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置；
• 从 [i, j] 位置的左⽅（ [i, j - 1] 的位置）向右⾛⼀步，转移到 [i, j] 位置。

但是， [i - 1, j] 与 [i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上⾯或者左边是不可能到达 [i, j] 位置的，也就是说，此时的⽅法数应该是 0。 由此我们可以得出⼀个结论，只要这个位置上有障碍物，那么我们就不需要计算这个位置上的
值，直接让它等于 0 即可。

3.初始化

可以在最前⾯加上⼀个辅助结点，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

• 辅助结点⾥⾯的值要保证后续填表是正确的；
• 下标的映射关系。

在本题中，添加⼀⾏，并且添加⼀列后，只需将 dp[1][0] 或者 dp[0][1] 的位置初始化为 1 即可。

4.填表顺序

根据状态转移的推导，填表的顺序就是从上往下填每一行，每一行从左往右。

5.返回值

根据状态表示，我们要返回的结果是 dp[m][n] 。

代码实现

C++

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        //1.创建一个dp表
        int m = obstacleGrid.size(),n = obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1,vector<int>(n + 1));
        //2.初始化
        dp[0][1] = 1;//也可以写dp[1][0] = 1;
        //3.填表
        for(int i = 1;i <= m;++i) {
            for(int j = 1;j <= n;++j) {
                if(obstacleGrid[i - 1][j - 1] == 0)//dp表对应到ob表注意下标
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        //4.返回值
        return dp[m][n];
    }
};

Java

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] ob) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值
        int m = ob.length, n = ob[0].length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        dp[1][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (ob[i - 1][j - 1] == 0)
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
}