LeetCode 416：分割等和子集（转化为0-1背包问题）

题目描述

问题转化

可以理解成是否能从给定数组里取出部分元素，使这些元素总和刚好为数组总和的一半。由于每个元素只能使用一次，所以就是0-1背包问题了。

二维数组解法

1. 确定dp数组及下标含义
   dp[i][j]表示是否能从下标不大于i的元素中取出部分元素使得这些元素总和刚好为j（值为True或False）。j的范围是0~target，target就是数组总和的一半。
2. 递推公式
   dp[i][j]=dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i]]
   两种选择：
   1）不使用下标为i的元素，此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
   2）使用下标为i的元素，此时dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i]]
   这两种选择满足其一即为True，所以用or运算符连接。
3. 初始化
   假如数组为[1,2,3]，target=3，则数组如下。

dp = [[False] * n for i in range(m)]

首先将第1列初始化为True，可以理解成当target为0时，一个元素都不取，这也算一种选择。

然后初始化第一行，递推公式为
dp[0][j] = dp[0][j - nums[0]]
这里要用倒序遍历，因为每个元素只能用一次。

4. 双重遍历填表
   
   完整代码如下：

def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        total = sum(nums)
        if total % 2 == 1 or len(nums) == 1:
            return False
        m = len(nums)
        n = total // 2 + 1
        dp = [[False] * n for i in range(m)]
        for i in range(m):
            dp[i][0] = True
        for j in range(n - 1, 0, -1):
            if j >= nums[0]:
                dp[0][j] = dp[0][j - nums[0]]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                if j < nums[i]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i]]
        return dp[i][j]

滚动数组

因为当前值只和上一层有关，所以我们可以用滚动数组代替原来的二维数组来降低空间复杂度。
所谓的滚动数组就是不断用当前层的值覆盖上一层的值，所以要注意在内层循环中一定要逆序。不然当左边的值被新的值覆盖后，再计算后面的值时就会出错。

def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        total = sum(nums)
        if total % 2 == 1 or len(nums) == 1:
            return False
        m = len(nums)
        n = total // 2 + 1
        dp = [False] * n
        dp[0] = True
        for i in range(m):
            for j in range(n - 1, 0, -1):
                if j < nums[i]:
                    dp[j] = dp[j]
                else:
                    dp[j] = dp[j] or dp[j - nums[i]]
        return dp[j]

在完全背包问题中不用逆序，因为元素可以重复取，所以当前层左边的元素可以被覆盖。