动态规划解最长公共子序列(LCS)

本次博客，直接简述核心动态规划部分，需要先对动态规划以及什么是最长公共子序列有简单了解，可以参考下博客，

最长公共子序列 (LCS) 详解+例题模板（全）
https://blog.youkuaiyun.com/lxt_Lucia/article/details/81209962
动态规划解最长公共子序列(LCS)(附详细填表过程)
https://blog.youkuaiyun.com/weixin_40673608/article/details/84262695

递归关系：

根据递归关系

如果$x_i=y_i$,则会有$C[i-1,j-1]+1$
如果$x_i！=y_i$，则会有$maxC[i,j-1],C[i-1,j]$

假如我们有两个序列，分别为ABCDE和WBFCE，我们可以分析过程如下：

详细代码是借鉴的网上的，自己加了注释。

/*
思路：

此题的切入点就是动态规划，

通过递归来确定哪些字符是最长公共子序列中的字符，
mat[i][j] 表示第一个序列的前i个字符和第二个序列的前j个字符的公共子序列，动态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1],dp[i-1][j-1] + (A[i]==B[j] ? 1 : 0))，表示在这三种状态中取到最大值，

（1）第一种状态表示不录入第一个序列的第i个字符时的最长公共子序列，

（2）第二种状态表示不录入第二个序列的第j个字符时的最长公共子序列，

（3）第三种状态表示第一个序列的前i-1个字符与第二个序列前j-1个字符的公共子序列加上最后一个字符的录入状态，
如果最后的一个字符相等则录入状态为1，否则为0。
*/
#include<queue>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
 
using namespace std;
 
char a[1001], b[1001];
int dp[1001][1001], len1, len2;
//填完表格 ，递归关系的应用
//dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1],dp[i-1][j-1] + (A[i]==B[j] ? 1 : 0)) 
void lcs(int i, int j)
{
    for(i=1; i<=len1; i++)
    {
        for(j=1; j<=len2; j++)
        {
        	//如果相等，则将 dp[i-1][j-1] + 1
            if(a[i-1] == b[j-1])
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            //不想等，取最大的 
            else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j] = dp[i][j-1];
        }
    }
}
 
void llcs()
{
    int i, j, z = 0;
    char c[1001];
    memset(c, 0, sizeof(c));
    i = len1, j = len2;
    //递归关系的应用 
    while(i!=0 && j!=0)
    {
    	//逆过程回去，如果相等，则加入数组，同时横纵坐标均减一 
        if(a[i-1] == b[j-1])
        {
            c[z++] = a[--i];
            j--;
        }
        //如果不相等，判断当前位置左方和上方的数谁大，数大的位置也就是当时这个数 
        else if(dp[i-1][j] < dp[i][j-1])
            j--;
        else if(dp[i][j-1] <= dp[i-1][j])
            i--;
    }
    for(i=z-1; i>=0; i--)
        printf("%c", c[i]);
    printf("\n");
 
}
 
int main()
{
    while(~scanf(" %s", a))
    {
        scanf(" %s", b);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        len1 = strlen(a);
        len2 = strlen(b);
        lcs(len1, len2);
        llcs();
    }
    return 0;
}