leetcode_462. Minimum Moves to Equal Array Elements II 移动最小步数使数组各数字相等II，中位数法

题目：

Given a non-empty integer array, find the minimum number of moves required to make all array elements equal, where a move is incrementing a selected element by 1 or decrementing a selected element by 1.

You may assume the array's length is at most 10,000.

Example:

Input:
[1,2,3]

Output:
2

Explanation:
Only two moves are needed (remember each move increments or decrements one element):

[1,2,3]  =>  [2,2,3]  =>  [2,2,2]

题意：

给定一个非空整数数组，找到使所有数组元素相等所需的最小移动数，其中移动将所选元素递增1或将所选元素递减1。

代码：

public class Solution {
    public int minMoves2(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        if( n <= 1 ){
            return 0;
        }
        else {
            Arrays.sort(nums);    //对数组排序
            int mean = nums[n/2];       //找出中位数，中位数即为数组中下标在中间的数
            int i;
            int res = 0;         //记录移动步数
            for( i = 0; i < n; i++){
                res += Math.abs(nums[i]-mean);       //数组个数字减去中位数，即得移动步数
            }
            return res;
        }
    }
}

笔记：

1、刚开始本人计算整个数组的平均数，然后用每个数减去平均数，相加求和，得到最后的移动步数。提交后提示答案不对，网上参考了答案，要找中位数，仔细分析了下，发现出错原因如下：这个题的关键是找一个数，竖立一个靶子，然后所有的数都往这个靶子靠近。

 如果数组个数是偶数，那么用这种方法计算是没有问题的，因为这时数组的中位数位置在两个数中间，平均数也在这两个数中间，因此无论这个中间数是取中位数的上下区间的数，或者取平均数，移动的步数都相等； 

但如果数组个数是奇数，这时中位数位置是确定的。这时中位数两边的数个数相等，无论他们往哪个数字上移动，最后的移动步数都是相等的，即中位数两边的数移动的步数是确定的；因此，次数总的移动步数，就看中位数的移动了。如果都往中位数上移，那中位数移动步数为0，其他数字移动步数确定，总的移动步数就是最小的。

这个题找中位数的数学证明如下：
先将数组按递增的顺序排好序，y1：移动到数组第k个下标的移动步数      y2:移动到数组的中间（移动到数组中位数）的移动步数
y1y1

 y1=∑i=0k(ak−ai)−∑i=k+1n（ai−ak）,k≠n2

 y2=∑i=0n2(an2−ai)−∑i=n2+1n（ai−an2）

假设 k>n2 ，即 ak=an2+x,x>0 ， 

y1−y2=∑i=n2+1k(ak−ai)+n2×x+∑i=n2+1k(ai−an2)+(k−n)×x=∑i=n2+1k(ak−an2)+(k−n2)×x=(2k−n)×x>0

同理，当 ak<an2 时，也比 y2 大。 
因此，如果取得不是中位数，最后的结果都会比这大。

参考：y1http://blog.youkuaiyun.com/liuchenjane/article/details/53244689

y 1