蓝桥杯真题演练——数组分割

最新推荐文章于 2025-03-12 13:57:30 发布

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分类专栏：蓝桥杯备赛专栏文章标签：蓝桥杯算法程序人生

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问题描述

小蓝有一个长度为 N 的数组 A=[A0,A1,...,AN−1]A=[A0,A1,...,AN−1]。现在小蓝想要从 A 对应的数组下标所构成的集合 I=0,1,2,...,N−1 中找出一个子集 R1 ，那么 R1 在 I 中的补集为 R2。记 S1=∑r∈R1Ar，S2=∑r∈R2Ar，我们要求 S1 和 S2 均为偶数，请问在这种情况下共有多少种不同的 R1 。当 R1 或 R2 为空集时我们将 S1 或 S2 视为 0。

输入格式

第一行一个整数 T，表示有 T 组数据。

接下来输入 T 组数据，每组数据包含两行：第一行一个整数 N，表示数组 A 的长度；第二行输入 N 个整数从左至右依次为 A0,A1,...,AN−1相邻元素之间用空格分隔。

输出格式

对于每组数据，输出一行，包含一个整数表示答案，答案可能会很大，你需要将答案对 1000000007进行取模后输出。

样例输入

样例输出

4
0

样例说明

对于第一组数据，答案为 4。（注意：大括号内的数字表示元素在数组中的下标。）

R1=0,R2=1；此时 S1=A0=6为偶数, S2=A1=6为偶数。

R1=1,R2=0 ；此时 S1=A1=6为偶数, S2=A0=6为偶数。

R1=0,1,R2=；此时 S1=A0+A1=12为偶数, S2=0为偶数。

R1=,R2=0,1；此时 S1=0 为偶数, S2=A0+A1=12为偶数。

对于第二组数据，无论怎么选择，都不满足条件，所以答案为 00。

题目的分析：

题目的意思是对于一个集合I，把集合I分成两个子集R1和R2，并且这两个子集中元素的和都是偶数，对于空集，我们认为集合的值为0，子集元素的和为偶数。

要想分为两个偶数，我们先要知道怎么才会产生偶数。

奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数、奇数+偶数=奇数

因此，分为下列的两种种情况：

（1）若整个集合I的和为奇数，那么这个集合就无法拆分为两个偶数集合的和，此时只需要输出0就可以。在这个问题中，也就是如果集合中出现的奇数个数为奇数，那么这个集合就无法划分为两个偶数的和。

（2）集合I的和为偶数，可能是偶数+偶数产生的，也可能是偶数加奇数产生的，因此我们的选择方式分为两种。一种是选择全部是偶数的子集，另一种是选择偶数个奇数的子集。

假设数组A中，偶数元素的个数为even个，奇数元素个数为odd个。

（1）选择的是偶数作为子集，由于偶数+偶数=偶数，因此另一个子集和一定也是偶数。我们需要在even个偶数中选择0，1，2，3，4，……个，这里我们用到了数学中的二项式定理。

二项式定理如下：

公式中的n就是even，我们的取值是0，1，2，3，……，even-1,even。此时我们的a与b都是1，因此二项式系数和=2^(even)。可能的方案数就是 2^(even)。

（2）选择偶数个奇数作为子集，那么我们选择的个数应该是0，2，4，6，……，此时公式应当为二项式系数和的一半（因为我们只选取了偶数个，奇数个我们没有计算，对比全部的项，我们现在是全部项数的一半），因此此时的方案数就是 2^(odd-1)。【这里的odd一定是偶数，因为奇数个奇数我们已经在上面讨论了，结果为0 】

总的可能方案数=偶数方案数+偶数个奇数方案数。

代码如下：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main() {

	int T,x,even,odd; //even是偶数，odd是奇数
	long sum; //统计方案数目
	long es=1,os=1;//用来求2^偶数  和  2^（奇数-1）
	int mod = 1000000007;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n;
		cin>>n;
		even = 0;//记录偶数个数，每次使用前初始化为0
		odd = 0;//记录奇数个数，每次使用前初始化为0
		for(int i=0;i<n;i++){
			cin>>x; //输入每个元素，并判断奇偶性
			if(x%2==0)
			{
				even++;
			}
			else
			{
				odd++;
			}
		}
		if(odd%2){    //如果奇数的个数为奇数个，整个集合肯定无法划分为两个偶数子集，输出0
			cout<<0<<'\n';
		}
		else{
			es = 1; os = 1;
			for(int i=0;i<odd-1;i++)
			{
				os = (os*2)%mod;  //求奇数方案
			}
			for(int j=0;j<even;j++)
			{
				es = (es*2)%mod;  //求偶数方案
			}
			sum = (os*es)%mod;  //所有可能的方案数
			cout<< sum<<'\n';
		}
	}	
	return 0;
}