算法学习——最邻近点对

当涉及到计算几何学中的问题时，最邻近点对（nearest neighbor pair）是一个经典的问题。它要求在给定的点集中找到距离最近的两个点。本文将介绍如何使用C++语言解决这个问题。

问题描述

给定一个包含n个点的点集P，我们的目标是找到其中距离最近的两个点。换句话说，我们要找到一对点p和q，使得它们之间的距离最小。

解决方案

为了解决最邻近点对问题，我们可以使用蛮力法（brute-force）或优化算法，如分治法。

下面通过举例说明分治法的算法：

例如：假设我们有一个包含10个点的点集P，它们的坐标如下：

(2, 3), (12, 30), (40, 50), (5, 1), (12, 10), (3, 4), (5, 6), (1, 2), (6, 7), (8, 9)

我们的目标是找到其中距离最近的两个点。

首先，我们将点集P按照x坐标进行排序，得到以下序列：

(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1), (5, 6), (6, 7), (8, 9), (12, 10), (12, 30), (40, 50)

然后，我们将点集P划分为两个子集P1和P2，使得P1包含前一半的点，P2包含后一半的点。这里，我们选择以中间点(6, 7)为中线，得到以下两个子集：

P1: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1), (5, 6)

P2: (6, 7), (8, 9), (12, 10), (12, 30), (40, 50)

接下来，我们递归地求解P1和P2中的最邻近点对。在P1中，最邻近点对为(2, 3)和(3, 4)，距离为1.414；在P2中，最邻近点对为(12, 10)和(12, 30)，距离为20。因此，d1=1.414，d2=20。

取d1和d2的较小值作为最小距离d，即d=1.414。

接下来，我们需要在距离中线d以内的点对中，寻找距离最小的点对。具体来说，我们需要找到在以中线(6, 7)为中心，宽度为2d的矩形内的点对，并计算它们之间的距离。这里，我们得到以下三个点：

(2, 3), (5, 6), (6, 7)

在这三个点中，最邻近点对为(2, 3)和(5, 6)，距离为2.236。因此，d3=2.236。

最终，我们返回d、d1和d3中的最小值，即1.414。因此，距离最近的两个点为(2, 3)和(3, 4)，距离为1.414。

步骤：

1. 将点集P按照x坐标进行排序。
2. 将点集P划分为两个子集P1和P2，使得P1包含前一半的点，P2包含后一半的点。
3. 递归地求解P1和P2中的最邻近点对，分别得到最小距离d1和d2。
4. 取d1和d2的较小值作为最小距离d。
5. 在距离中线d以内的点对中，寻找距离最小的点对，记为d3。
6. 返回d、d1和d3中的最小值。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
};

bool compareX(Point p1, Point p2) {
    return p1.x < p2.x;
}

bool compareY(Point p1, Point p2) {
    return p1.y < p2.y;
}

double distance(Point p1, Point p2) {
    return sqrt(pow(p1.x - p2.x, 2) + pow(p1.y - p2.y, 2));
}

double closestPairUtil(Point points[], int left, int right) {
    if (right - left <= 3) {
        double minDist = INT_MAX;
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= right; j++) {
                double dist = distance(points[i], points[j]);
                if (dist < minDist) {
                    minDist = dist;
                }
            }
        }
        return minDist;
    }

    int mid = (left + right) / 2;
    Point midPoint = points[mid];

    double d1 = closestPairUtil(points, left, mid);
    double d2 = closestPairUtil(points, mid + 1, right);
    double d = min(d1, d2);

    Point strip[right - left + 1];
    int stripSize = 0;
    for (int i = left; i <= right; i++) {
        if (abs(points[i].x - midPoint.x) < d) {
            strip[stripSize++] = points[i];
        }
    }

    sort(strip, strip + stripSize, compareY);

    double minDist = d;
    for (int i = 0; i < stripSize; i++) {
        for (int j = i + 1; j < stripSize && (strip[j].y - strip[i].y) < minDist; j++) {
            double dist = distance(strip[i], strip[j]);
            if (dist < minDist) {
                minDist = dist;
            }
        }
    }

    return minDist;
}

double closestPair(Point points[], int n) {
    sort(points, points + n, compareX);
    return closestPairUtil(points, 0, n - 1);
}

int main() {
    Point points[] = {{0, 0}, {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {4, 4}};
    int n = sizeof(points) / sizeof(points[0]);
    double minDist = closestPair(points, n);
    cout << "最邻近点对的距离为：" << minDist << endl;
    return 0;
}

时间复杂度：

在分治法中，我们首先需要对点集P按照x坐标进行排序，这需要O(n log n)的时间。然后，我们将点集P划分为两个子集，并递归地求解每个子集中的最邻近点对。递归调用的次数为O(log n)，每次递归的时间复杂度为O(n)。在距离中线d以内的点对中，我们需要寻找距离最小的点对，这需要O(n)的时间。因此，总时间复杂度为O(n log n)。