动态规划详细介绍

一.基础知识

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种用于解决复杂问题的方法，通过将问题分解为更简单的子问题来求解。它通常用于优化问题，尤其是那些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。以下是动态规划的详细介绍：

1. 基本概念

• 重叠子问题：一个问题可以被分解为多个子问题，这些子问题在求解过程中会被多次计算。例如，计算 Fibonacci 数列时，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，F(n-1) 和 F(n-2) 会被多次计算。

• 最优子结构：一个问题的最优解可以由其子问题的最优解构成。例如，最短路径问题中，从 A 到 C 的最短路径可以通过 A 到 B 和 B 到 C 的最短路径来构成。

2. 动态规划的步骤

1. 定义状态：确定问题的状态，通常用一个数组或表格来表示。

2. 状态转移方程：找出状态之间的关系，建立递推公式。

3. 边界条件：确定初始状态的值。

4. 计算顺序：根据状态转移方程的依赖关系，确定计算的顺序。

5. 返回结果：根据计算的结果返回最终答案。

3. 动态规划的实现方式

动态规划通常有两种实现方式：

• 自顶向下（递归 + 记忆化）：通过递归解决问题，并使用一个数据结构（如数组或哈希表）来存储已经计算过的结果，以避免重复计算。

• 自底向上（迭代）：从最小的子问题开始，逐步计算到最终问题，通常使用一个数组来存储中间结果。

二.具体示例

题目126：斐波那契数

• 解题思路：动态规划，动态规划的本质思想就是将子问题的答案存放在数组中，使用的时候直接拿就可以。

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

答案需要取模 1e9+7(1000000007) ，如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

class Solution {
   
public:
    int fib(int n