＜＜数值分析＞＞第二章线性方程组的直接解法

          解线性方程组是工程数学中最常见的模型之一。所说的“最常见”有两方面的含义：

１）一部分工程问题的本身建立的就是线性方程组模型；

２）较多工程问题建立的非线性方程组模型需要转化为线性方程组的求解。  

        线性方程组为Ax=b，以下介绍求解方法，

一.高斯列主元消去法

1.1介绍

1.2例题

1.3特点

 二.LU分解求解方程组

2.1公式介绍

2.2求解思路

2.3例题

三.特殊的LU分解

3.1平方根法

3.2Cholesky分解

3.2.1方法介绍

3.2.2例题

3.3改进的平方根法

3.3.1方法介绍

3.3.2分解过程

3.3.3例题

四.向量和矩阵的范数

4.1向量的范数

 4.2矩阵的范数

4.2.1 例题:

 五.矩阵的条件数与误差分析

 5.1误差原因

5.1.1病态矩阵介绍

5.2线性方程组的误差分析

5.2.1 b有误差而A无误差的情形

5.2.2条件数的性质

5.2.3例题：

六.参考资料

一.高斯列主元消去法

1.1介绍

        方程需要有唯一解，并且不接近不接近奇异矩阵。高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素——列中绝对值最大的元（数）取作主元素。在每轮消元前,根据需要消去的行，确定消元因子Lij（小于1的数）。以下是运算的步骤：

（1）选列主元素：从最左侧列开始选，同一列中最大值。                                                                （2）交换两行：是列主元所在的行为第一行,若不是，则交换两行。                                                （3）消元运算：用列主元将每一列的其余项消为0。                                                                        （4）重复以上步骤                                                                                                                            （5）代入求解：得到一个x的解，代入其他行，求解得到其他的x解。

1.2例题

用高斯列主元消去法解方程组：

解：

         易得方程组的解为 

1.3特点

        高斯列主元消去法是数值稳定的方法。

 二.LU分解求解方程组

2.1公式介绍

        高斯消去法的过程，可以看作下三角矩阵左乘系数矩阵A,乘积为可逆的上三角矩阵U。系数方程组为Ax=b,将Ux看作y，先解y，再解x。则有以下的公式：

        其中A为系数矩阵，L为单位的下三角矩阵，U为可逆的上三角矩阵

2.2求解思路

（1）首先确定A分成的L和U。由 A 的第一行、第一列元素确定 U 的第一行、L 的第一列元素。再确定U的下一行，L的下一列。可以确定全部的L,U值。                                                                    （2）解方程组Ly=b，求解y的值，再解方程组Ux=y，求解x的值。

2.3例题

用LU分解解方程组

（1）对A进行LU分解：A=LU

        易得y的解为，x的解为

三.特殊的LU分解

3.1平方根法

        平方根法是解对称正定方程组的有效方法，系数矩阵A分解为L和U，再将U分解成D和Uo。可以得到A=L·D·Uo 。