深入理解树与二叉树的数据结构-优快云博客

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一、树

树的概念：

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

特性：

根节点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、T3、..........Tm，其中每个Ti有事一颗结构与树类似的子树，每棵树的根结点有且只有一个前驱，可以有0或多个后继
树是递归定义的。
子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

树的一些重要概念：

二、二叉树

1、概念

一颗二叉树是结点的有限集合：该集合或为空或由一个根结点加上两颗分别称为左子树和右子树的二叉树组成（根左子树右子树）

由上图看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2、性质

若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多 $2^{(i-1)}$ 有个结点。
若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点数是 $2^h-1$ .
对任何一颗二叉树，如果度为0即叶结点个数为n0，度为二的结点个数为n2，则有： $n_0=n_2+1$
若规定根节点的层数为1，具有n的结点的满二叉树的深度， $h=log_2(n+1)$ .
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从开始编号，则对于序号为i的结点有：

a.若i>0,i位置节点的双亲序号：(i-1)/2; i=0, i为根结点编号，无双亲结点

b.若2i+1<n , 左孩子序号：2i+1, 2i+1>=n否则无左孩子

c.若2i+2<n , 右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子

3、特殊二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点树都达到最大值，则换个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^k-1$ ,则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点——对应时称为完全二叉树。(第n层不满但是从左到右为连续，n-1层全满)，要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。