二维前缀和（子矩阵的和）

学习二维前缀和之前，大家可以先去了解一下一维前缀和。

https://blog.youkuaiyun.com/qq_63944516/article/details/123495969

算法介绍

二维前缀和是由一维前缀和推演得到的，在一维前缀和中，我们已经知道了多次查询使用前缀和算法会减少运算次数，从而达到了减少运算时间的目的。

二维前缀和的运算的减少

二维前缀和比一维前缀的预处理更为复杂，每个sum[][]需要3次加法、1次减法运算。经过预处理后的查询需要1次加法、2次减法运算。

不过相较于暴力加法，在查询次数较多，数据个数较多的情况下，前缀和依旧占据时间优势。

具体做法

首先做一个预处理，定义一个sum[][]数组，sum[i][j]代表数组中前i行、前j列所代表的矩阵元素之和。

 当我们要计算sum[i][j]时，黄色区域的sum[][]已经全部求出。

此时可令sum[i][j]=num[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]。

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        sum[i][j]=num[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];

同理一维前缀和，在开辟sum[][]数组时，要扩大一些。经过以上几步，我们就完成了二维前缀和的预处理。

输出查询

 

当我们要查询x1 y1，x2  y2所代表的子矩阵的和时。

我们可以知道sum[x2][y2]代表的是以x2为行，y2为列的矩阵所有元素之和。

此时，我们可以知道sum=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][x2-1] ，仿照二维前缀和处理即可。

int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
printf("%d\n",sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]);

题目链接 

https://www.acwing.com/problem/content/798/

题目介绍

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，qn，m，q。

接下来 nn 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 qq 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 qq 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000
1≤q≤2000001≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

代码样例

#include<stdio.h>
const int N=1010;

int num[N][N];
int sum[N][N];

int main()
{
    int n,m,p;
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&p);
    //原数组
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        scanf("%d",&num[i][j]);
    }
    
    // 处理前缀和数组
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+num[i][j];
    }
    
    while(p--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]);
    }
    return 0;
}