算法思想-动态规划算法

母牛繁殖问题

一、问题描述

在一个理想的农场中，母牛每年都会生1头小母牛，并且永远不会死。第一年有1只小母牛，从第二年开始，母牛开始生小母牛。每只小母牛3年后成熟又可以生小母牛。给定整数n，求n年后牛的数量。

这个问题看似简单，但实际上涉及递归和动态规划的思想。通过分析，我们可以发现这是一个经典的动态规划问题。

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二、问题分析

1. 理解规则

• 第一年：只有1只小母牛。
• 第二年：这只小母牛成长为母牛，并生下1只小母牛，总数为2。
• 第三年：这只母牛再次生下1只小母牛，总数为3。
• 第四年：第一年出生的小母牛成熟，开始生育，因此总数为4。
• 第五年：第二年出生的小母牛成熟，开始生育，因此总数为6。

从第四年开始，每年新增的牛的数量等于3年前的牛的数量，因为每只小母牛需要3年才能成熟并开始生育。

2. 动态规划思路

我们可以用一个数组dp[]来表示第i年的牛的数量。根据规则，可以得出以下递推公式：

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 3]

其中：

• dp[i - 1]表示前一年的牛的数量。
• dp[i - 3]表示3年前的牛的数量，这些牛现在成熟并开始生育。

初始条件：

dp[1] = 1
dp[2] = 2
dp[3] = 3

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三、代码实现

以下是基于动态规划思想的Java代码实现：

public static int countCows(int n) {
    if(n <= 3){
        return n;
    }

    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3;

    for (int i = 4; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 3];
    }

    return dp[n];
}

优化版本

为了减少空间复杂度，我们可以只使用三个变量来存储最近三年的牛的数量：

public static int countCows(int n) {
    if(n <= 3){
        return n;
    }

    int a = 1; // dp[1]
    int b = 2; // dp[2]
    int c = 3; // dp[3]
    int result = 0;

    for (int i = 4; i <= n; i++) {
        result = c + a; // dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 3]
        a = b; // 更新 dp[i - 3]
        b = c; // 更新 dp[i - 2]
        c = result; // 更新 dp[i - 1]
    }

    return result;
}

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四、测试

for (int i = 1; i <= 10; i++) {
   System.out.println("第" + i + "年 -> " + countCows(i));
}

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五、总结

通过这个问题，我们学习了如何用动态规划的思想解决递归问题。动态规划的核心是将问题分解为子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算。在这个问题中，我们通过递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 3]，高效地计算了n年后牛的数量。

这个问题不仅有趣，而且具有实际意义，例如在生物学中种群增长模型的模拟。希望这篇博客能够帮助你更好地理解动态规划的应用！