10.8高数

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一.函数与极限

1.函数

1.1 定义

函数f 是从一个集合 D（称为定义域，D包含于实数集R）到另一个集合 Y（称为值域）的映射。对于定义域中的每一个元素 x，函数f都指定了一个唯一的元素 y 在值域中，记作

其中x叫做自变量，y叫做因变量，f叫做映射规则，f(x)表示一个函数值。

函数的两要素是指函数的定义域和值域。

定义域是函数中所有可能的输入值的集合。换句话说，定义域是使得函数有意义的所有 x 值的集合。

值域是函数中所有可能的输出值的集合。换句话说，值域是函数 f(x) 在定义域内所有可能的 y 值的集合。

确定定义域和值域的方法

定义域：
- 代数方法：通过分析函数的表达式，确定哪些 xx 值使得函数有意义。例如，分母不能为零，对数函数的输入必须为正数，平方根的输入必须为非负数等。
- 图形方法：通过绘制函数的图形，观察 x 轴上的范围，确定定义域。
值域：
- 代数方法：通过分析函数的表达式，确定 f(x) 的取值范围。例如，平方函数的结果总是非负的，正弦函数的结果在 −1 和 1 之间。
- 图形方法：通过绘制函数的图形，观察 y 轴上的范围，确定值域。

例子：

确定函数

的定义域和值域。

解：

定义域：

分母

不能为零，因此我们需要解方程
解得 x=2或 x=−2。
因此，定义域是所有不等于 2 和 −2 的实数，即

值域：

观察函数

，分母

的取值范围是 $(-\infty,-2) \cup (-2,+\infty)$
因此，函数的值域是
$(-\infty,-1/4)\cup(0,+\infty)$

常见函数类型

线性函数：
f(x)= $ax+b$ ，其中 a 和 b 是常数。
多项式函数：
，其中 ai是常数。
指数函数：
，其中 a>0 且 a≠1。
对数函数：

其中 a>0 且 a≠1。
三角函数：如正弦函数 f(x)=sin⁡(x)，余弦函数 f(x)=cos⁡(x)，正切函数 f(x)=tan⁡(x)等。
反三角函数：如反正弦函数 f(x)=arcsin⁡(x)，反余弦函数 f(x)=arccos⁡(x)，反正切函数 f(x)=arctan⁡(x)等。
符号函数：
$sgn(x)=\begin{cases}1 & x>0\\0 & x=0 \\ -1 & x<0\end{cases}$

例子：

下边函数是否成立

当x>0时，sgn(x)=1,|x|=x，此时

当x=0时，sgn(x)=0，|x|=0，此时x = 0

当x<0时，sgn(x)=-1，|x|=-x，此时

所以：等式成立。

1.2函数的特性

1.2.1 有界性

上界：存在一个实数k1，使得

下界：存在一个实数k2，使得

有界：

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为有界的，如果存在两个实数 M 和 m，使得对于定义域中的任意x，都有：m≤f(x)≤M

其中：M 称为函数的上界，m 称为函数的下界。

一个函数有界的充要条件：既有上界，又有下界。

1.2.2 单调性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为单调的，如果对于定义域中的任意 x1 和 x2，当 x1<x2 时，有：

单调递增：如果 f(x1)≤f(x2)，则函数 f 是单调递增的。
严格单调递增：如果 f(x1)<f(x2)，则函数 f 是严格单调递增的。
单调递减：如果 f(x1)≥f(x2)，则函数 f 是单调递减的。
严格单调递减：如果 f(x1)>f(x2)，则函数 f 是严格单调递减的。

1.2.3 奇偶性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为：

偶函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=f(x)，则函数 f 是偶函数。偶函数的图形关于 y 轴对称。
奇函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=−f(x)，则函数 f是奇函数。奇函数的图形关于原点对称。

1.2.4 周期性

定义

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为周期函数，如果存在一个正数 T，使得对于定义域中的任意 x，都有：f(x+T)=f(x)

其中 T称为函数的周期。如果存在最小的正数 T 满足上述条件，则称 T 为函数的最小正周期。

1.3 反函数

定义

给定一个函数 f:X→Y，如果存在一个函数 g:Y→X，使得对于 X 中的每一个 x，都有 g(f(x))=x，并且对于 Y 中的每一个 y，都有 f(g(y))=y，则称 g 为f 的反函数，记作

换句话说，反函数满足以下两个条件：

对于 X 中的每一个x，有
对于 Y 中的每一个 y，有

注意：原函数和反函数是关于y=x对称的。

存在条件

一个函数 f 存在反函数的充分必要条件是 f 是双射（即一一对应）。具体来说：

一一对应：对于 X 中的任意两个不同的元素 x1 和 x2，都有 f(x1)≠f(x2)。
满射：对于 Y 中的每一个元素 y，都存在 X 中的一个元素 x，使得 f(x)=y。

2.极限

2.1 数列极限

定义

一个数列 {an} 的极限是 L，如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在一个正整数 N，使得对于所有 n>N，都有：

换句话说，当 n 足够大时，数列的项 an可以无限接近L。此时，我们称数列 {an} 收敛于 L，记作：
$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=L$

如果数列不收敛于任何有限值，则称该数列为发散的。

理解：对于任意小的区间 ϵ，对于某个正整数N，使N后边的所有项n，∣an−L∣落在ϵ的这个区间内。

示例

收敛数列：
- 数列
  
  因为对于任意 ϵ>0，总存在 N，使得对于所有 n>N，都有
- 数列
  
  因为对于任意 ϵ>0，总存在N，使得对于所有 n>N，都有
发散数列：
- 数列 {an}=(n)
  $\lim _{n\rightarrow \infty }(n)=\infty$
  
  因为对于任意 M>0，总存在 N，使得对于所有 n>N，都有 n>M。
- 数列
  
  该数列在 −1 和 1 之间振荡，不收敛于任何有限值。

极限的性质

唯一性：如果数列 {an}收敛，则其极限是唯一的。
有界性：如果数列 {an}收敛，则它是有界的。
保序性：如果数列 {an} 和 {bn} 都收敛，且对于所有 n，都有 an≤bn，则

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\leq \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}$
四则运算：如果数列 {an}和 {bn} 都收敛，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，并且满足相应的极限运算法则。

2.2 函数的极限

定义

设函数 f(x) 在点 x=a 的某个去心邻域内有定义(在a处可以没有定义)。如果对于任意给定的正数 ϵ（无论它多么小），总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ 时，有∣f(x)−L∣<ϵ

则称 L 为函数 f(x)当 x 趋近于 a 时的极限，记作

性质

唯一性：如果极限存在，那么它是唯一的。
局部有界性：如果

$\lim _{x\rightarrow a }f(x)=L$

，则存在M>0， δ>0，使得 f(x) 在 0<∣x−a∣<δ内有界，即
局部保号性：如果

且 L>0（或 L<0），则存在 δ>0，使得 f(x)>0（或 f(x)<0）在 0<∣x−a∣<δ内成立。

极限的计算

代入法：如果 f(x) 在 x=a 处连续，则
$\lim _{x\rightarrow a }f(x)=f(a)$
极限运算法则：如果

$\lim _{x\rightarrow a }f(x)=L$

和

$\lim _{x\rightarrow a }g(x)=M$

，则
- $\lim _{x\rightarrow a }[f(x) \pm g(x)] =L\pm M$
- $\lim _{x\rightarrow a }[f(x) \cdot g(x)] =L\cdot M$
- $\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{f(x)}{g(x)} =\dfrac{L}{M}（如果 M≠0）$
夹逼定理：如果 f(x)≤g(x)≤h(x) 在 x=a 的某个去心邻域内成立，且

，则

单侧极限

左极限：如果

，则称 L 为 f(x) 在 x 趋近于 a 时的左极限。
右极限：如果

，则称 L 为 f(x) 在 x 趋近于 a 时的右极限。

如果极限

存在，则左极限和右极限都存在且相等。

2.3 无穷大与无穷小

无穷大：如果对于任意大的正数 M，总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ时，有 ∣f(x)∣>M，则称 f(x)在 x 趋近于 a 时趋向于无穷大，记作

无穷大分为正无穷大和负无穷大。

无穷大加无穷大不确定，因为如果负无穷大加正无穷大不知道为多少；同理无穷大减无穷大也不确定；无穷大除以无穷大也不确定；

无穷大乘无穷大肯定为无穷大。
无穷小：如果

则称 f(x)在 x 趋近于a或趋近于∞ 时的无穷小。

运算法则：

1.无穷小加、减、乘无穷小都是无穷小

2.有界函数与无穷小的乘积也为无穷小

3.常数与无穷小的乘积也为无穷小

4.无穷小除以无穷小不确定。

注意：无穷小和负无穷大的区别及无穷小和非常小的数的区别。

负无穷大也是无穷大，不是无穷小；非常小的数是一个常数，不是无穷小。

如果f(x)是无穷大，则1/f(x)为无穷小；如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大。

高阶无穷小

设 α和 β 是两个无穷小量（即当 x→a时， α→0且 β→0）。

如果

则称 α是 β的高阶无穷小，记作 α=o(β)。即α的收敛速度比 β快。
低阶无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量。

如果

，则称 α 是 β 的低阶无穷小。

3.同阶无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量。

如果

，则称 α 和 β 是同阶无穷小

等价无穷小
- 设 α 和 β 是两个无穷小量（即当 x→a 时， α→0且 β→0）。
- 如果
  
  则称 α 和 β 是等价无穷小，记作 α∼β。
k阶无穷小
- 设 α和 β 是两个无穷小量，且
- 如果
  
  （其中 c 是一个非零常数）
  
  ，则称 α 是 β 的 k 阶无穷小。

2.4 无穷大极限

函数 f(x) 当 x趋于无穷大时，如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 ∣x∣>X 时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x 趋于无穷大时的极限是 A。

具体分类：

当 x→+∞ 时的极限：
- 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x>X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x)当 x→+∞ 时的极限是 A，记作
当 x→−∞时的极限：
- 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x<−X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x→−∞时的极限是 A，记作

2.5 极限存在准则

2.5.1 单调有界准则

如果函数 f(x)在某个区间上单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该函数在该区间上必定有极限。

例子

证明：需要使用后边讲的洛必达法则

取对数：
- 设
  
  则我们需要证明

取自然对数，得到：

求极限：
- 我们需要求

由于

在 x→∞时趋近于 0，这是一个 ∞⋅0型不定式。
使用洛必达法则，设

，则

当 x→∞x→∞ 时， u→0。
因此，极限变为：

洛必达法则：

对分子和分母分别求导，得到：

因此，

由于

所以 y=e。

因此，

这个极限公式是比较重要的，在该公式中需要注意：

1.一定是

不能是减号，如果不是，则需要转化为

例如：

所以，

另外：

的变形公式：

补充：

洛必达法则：

假设 f(x) 和 g(x) 是两个函数，并且在某个点 a 的某个去心邻域内可导（即 f′(x)和 g′(x)存在），并且 g′(x)≠0在这个去心邻域内。如果：

或者

那么：

如果右边的极限存在（或为无穷大），则左边的极限也存在（或为无穷大）。

2.5.2 夹逼定理

如果 f(x)≤g(x)≤h(x) 在 x=a 的某个去心邻域内成立，且

则

3.函数的连续性

3.1 连续性

在某点的连续性：

设函数 f(x)在点 x=a的某个邻域内有定义。

如果

则称函数 f(x) 在点 x=a 处连续。

归纳起来：

左连续：

设函数 f(x) 在点 x=a 的左侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a−δ,a)内的所有 x 都有定义）。

如果

则称函数 f(x) 在点 x=a处左连续。

右连续：

设函数 f(x) 在点 x=a 的右侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a,a+δ)内的所有 x 都有定义）。

如果

则称函数 f(x)在点 x=a 处右连续。

连续的充要条件

函数连续的充要条件：函数左右连续。

在区间的连续性：

如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 内的每一点都连续，则称函数 f(x)在区间 (a,b) 内连续。

如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 内的每一点都连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续。

例子 1：

例子2：

性质：

局部性质：
- 如果函数 f(x) 在点 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a的某个邻域内有界。
全局性质：
- 如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上连续，则 f(x)在该区间上有界。
- 如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在该区间上达到最大值和最小值。
- 如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，并且 f(a)和 f(b)异号，则存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0（零点定理，后边会讲）。

3.2 不连续点

定义

可去不连续点：

如果

存在且有限，但 f(a) 不存在或

，则称 x=a 是 f(x)的可去不连续点。

如：

在x-->1时，简化等式：

但是在x=1处，y无意义，所以x=1是y的可去不连续点。

跳跃不连续点：

如果

都存在且有极限，但

则称 x=a 是 f(x) 的跳跃不连续点。

函数

在 x=0 处，左极限

，右极限

函数值 f(0)=1。

因此，函数在 x=0处是跳跃不连续点。

无穷不连续点：

如果

不存在或为无穷大，则称 x=a是 f(x) 的无穷不连续点。

如：y=tanx，x在π/2处为无穷大，所以x=π/2是 f(x) 的无穷不连续点。

3.3 闭区间连续函数性质

零点定理：

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续，并且 f(a) 和 f(b) 异号（即 f(a)⋅f(b)<0），则存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

介值定理：

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，并且 f(a)≠f(b)。对于任意介于 f(a)和 f(b)之间的数 k（即 min⁡(f(a),f(b))<k<max⁡(f(a),f(b))），存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=k。

零点定理与介值定理的关系：

零点定理是介值定理的特例：

零点定理可以看作是介值定理在 k=0时的特例。
如果 f(a)和 f(b)异号，则 0 介于 f(a) 和 f(b)之间，因此存在 c∈(a,b) 使得 f(c)=0。

二.导数

1.概念

速度角度：

在物理学中，速度是描述物体位置随时间变化快慢的量。假设我们有一个函数 f(t1)表示物体在时间 t1 的位置，f(t2)表示物体在时间 t2的位置，那么在t1到t2时间段内，物体移动的距离为f(t2)-f(t1)，平均速度为：

$v=\dfrac{f(t_{2}-f(t_{1}))}{t_{2}-t_{1}}$

物体在t1的瞬时速度接近于：

$v=\lim _{t_{2}\rightarrow t_{1}}\dfrac{f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}$

也就是说当t2无限接近于t1时的速度。

切线角度

假设我们有一个函数 f(x)，其图像是一条曲线。我们想要了解这条曲线在某一点 x=a 处的变化情况。

首先，考虑曲线上的两个点 (a,f(a)) 和 (b,f(b))，其中 b 是接近 a 的另一个点。连接这两个点的直线称为割线。割线的斜率可以表示为：

割线的斜率= $\dfrac{f(b)−f(a)}{b−a}$

接下来，我们让点 b 逐渐接近点 a，即 b→a。在这个过程中，割线的斜率会逐渐接近曲线在点 (a,f(a))处的切线的斜率。

当 b 无限接近 a 时，割线的斜率就变成了曲线在点 (a,f(a))处的切线的斜率:

$$
$f′(a)=\lim _{b\rightarrow a}\dfrac{f(b)−f(a)}{b−a}$
$$

1.1 导数定义

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作

即：

其中：

Δx 是一个很小的增量，表示 x 的变化量。
是 x 在 x0 点增加 Δx 后的函数值。
f(x0) 是 x 在 x0 点的函数值。
是函数在 x=x0 处的平均变化率。
表示当 Δx 趋近于 0 时的极限。
平均变化率：在 x=x0 和 x=x0 + Δx 之间，函数的平均变化率是

。这个比值表示函数在这段区间内的平均变化速度。
瞬时变化率：当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率的极限值就是函数在 x=x0处的瞬时变化率，即导数 f′(x0)。

1.2 单侧导数

1.2.1 左导数

函数 f(x)在点 x=a 处的左导数定义为：

其中 h→0−表示 h 从负方向趋近于 0。

1.2.2 右导数

函数 f(x)在点 x=a处的右导数定义为：

其中 h→0+表示 h 从正方向趋近于 0。

1.2.3 导数的存在性

函数 f(x) 在点 x=a 处的导数 f′(a)存在，当且仅当左导数和右导数都存在且相等：

2.导数的几何意义

2.1 切线

由导数定义可知，f(x)在点 (a,f(a))处的斜率：

所以切线方程可以表示为：

其中：

y 是切线上的点的纵坐标。
f(a) 是函数在点 x=a 处的值。
f′(a) 是函数在点 x=a 处的导数，即切线的斜率。
x 是切线上的点的横坐标。
a 是切点处的横坐标。

化简切线方程：

将切线方程化简为标准形式 y=mx+b，其中 m 是斜率，b 是截距。

2.2 法线

是与切线垂直的直线。切线的斜率为f'(a)，则法线的斜率为

法线方程的一般形式是：

其中：

y 是法线上的点的纵坐标。
f(a是函数在点 x=a处的值。
f′(a)是函数在点 x=a处的导数，即切线的斜率。
x 是法线上的点的横坐标。
a 是法线点处的横坐标。

化简法线方程：将法线方程化简为标准形式 y=mx+b，其中 m 是斜率，b 是截距。

3.可导与连续的关系

3.1 定义

连续性

一个函数 f(x) 在点 x=a 处连续，如果满足以下条件：

这意味着当 x 接近 a 时，函数值 f(x)也接近 f(a)。换句话说，函数在点 x=a处没有跳跃或断裂。

可导性

一个函数 f(x) 在点 x=a处可导，如果它在该点处的导数存在，即：

这意味着函数在点 x=a 处的变化率是有限的，并且有一个确定的值。

所以从连续和可导定义看出，可导的条件比连续的条件更严格。

3.2 定理

1.可导性蕴含连续性

如果函数 f(x) 在点 x=a处可导，那么它在点 x=a 处连续。

证明：如果函数 f(x) 在点 x=a处可导，则

我们要证f(x)在点 x=a 处连续，需要证明

变换上述等式：

所以

2.连续性不一定蕴含可导性

可导的函数从几何意义上看曲线是连续并光滑的，同时切线斜率不能垂直于x轴。

4.求导公式

4.1 求导规则

常数规则：

其中 c 是常数。
幂函数规则：

其中 n 是任意实数。
常数倍规则：

其中 c 是常数。
和差规则：
乘积规则：
商规则：

其中 g(x)≠0。
链式法则(复合函数求导)：

4.2 常见函数的求导公式

指数函数：

其中 a>0且 a≠1。

对数函数：

其中 a>0且 a≠1。

三角函数：

反三角函数：

5.高阶导数

高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数。具体来说，如果一个函数 f(x) 的一阶导数是 f′(x)，那么二阶导数就是对一阶导数再求导，记作

类似地，三阶导数是对二阶导数再求导，记作

以此类推。

定义

对于一个函数 f(x)，其 n 阶导数定义为：

其中 n是正整数。

6.隐函数求导

隐式方程是指函数关系不是显式地表示为 y=f(x)，而是表示为 F(x,y)=0的形式。隐函数求导的基本思想是通过对方程两边同时求导，然后解出

隐函数求导的基本步骤

对方程两边求导：假设有一个隐式方程 F(x,y)=0，我们对方程两边分别对 x 求导。
使用链式法则：在求导过程中，如果遇到 y 的函数，需要使用链式法则，将 y 视为 x 的函数。
通过求导得到的方程，解出 dy/dx。

7.参数方程求导

参数方程是一种描述曲线的方法，其中曲线的 x 和 y 坐标分别由两个独立的参数方程表示。假设我们有一个参数方程：

其中 t 是参数。我们希望求出曲线的导数 dy/dx。

参数方程求导的基本步骤

求 x 对 t 的导数：
求 y对 t 的导数：
求 dy/dx：

例子

1.求

的导数

解：

1.求 x 对 t 的导数：

2.求 y 对 t 的导数：

3.求dy/dx

2.求

的导数

解：

1.求 x 对 t 的导数：

2.求 y 对 t 的导数：

3.求dy/dx

微分

1.定义

微分是函数在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。

若函数y=f(x)在点x处有导数f'(x)存在，则y因x的变化量△x所引起的改变量
△y=f(x+△x)-f(x)可以表示为△y=f'(x)·△x+o(△x)，其中o(△x)是△x的高阶无穷小，即当△x趋于0时，o(△x)相对于△x趋于0的速度更快。因此，微分dy可以近似地表示为dy=f'(x)△x，它描述了函数值y随自变量x变化而变化的线性部分。‌

例如：正方形的面积公式为：
y=x^2
假设正方形的初始边长x=a，然后在a的基础上边长增加一个非常小的改变量△x，此时正方形的边长x=a+△x，正方形增加的面积：
$△y=f(a+△x)-f(a)=(a+△x)^{2}-a^{2}=2a.△x+△x^{2}$ 由于△x非常小，所以△x^2可以看作是△x的高阶无穷小，即O(△x)，所以：△y=2a△x+O(△x)

等式两边同除以△x：
$\dfrac{△y}{△x}=2a+\dfrac{O(△x)}{△x}$
求极限：
$\lim _{⁡△x\rightarrow 0}\dfrac{△y}{△x}=\lim _{⁡△x\rightarrow 0}(2a+\dfrac{O(△x)}{△x})=2a$ 极限存在，所以函数可导，即：

f'(a)=2a

完整等式可表示为：
△y=f'(a)△x+O(△x)

因此，微分dy可以近似地表示为
dy=f'(a)△x或dy=f'(a)dx

注意：△y是精确值，dy是近似值。

2.可微的充要条件

函数 f(x) 在点 x=a 处可微的充要条件是：

函数在点 x=a处连续：

$\lim _{⁡x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
函数在点 x=a 处左右导数存在且相等：

$f'_{-}(a)=f'_{+}(a)$

简单来说，就是可微的充要条件是函数 f(x) 在点 x=a 处可导。

3.微分公式与法则

根据微分定义
dy=f'(x)dx

可知，求微分实际上就是求导数，所以微分公式同求导公式，详见导数章节，这里不再赘述。

4.微分的几何意义

假设一个可微函数y=f(x)的曲线，在x=x0处增加一个非常小的改变量△x，那么：
△y=f(x_{0}+△x)-f(x_{0})

△y是函数增量的精确值，现在我们在x=x0处做函数的切线，根据微分定义可知：
dy=f'(x_{0})△x

f'(x)是切线的斜率，dy是△y的近似值，所以

$△y\approx f'(x_{0})△x\\ f(x_{0}+△x)=△y+f(x_{0})\approx f'(x_{0})△x+f(x_{0})$

所以微分提供了一种在局部范围内用直线近似曲线的方法，这对于理解和分析函数的行为非常有用。

5.微分中值定理

5.1 罗尔定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

在闭区间 [a,b]上连续。
在开区间 (a,b)上可导。
在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)。

那么，在开区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得：f′(c)=0

罗尔定理的几何意义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上的两个端点处的函数值相等，那么在区间 (a,b)内至少存在一点 c，使得该点处的切线是水平的（即导数为零）。

5.2 拉格朗日中值定理

如果函数 f(x)满足以下条件：

在闭区间 [a,b] 上连续。
在开区间 (a,b)上可导。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：
f′(c)=\dfrac{f(b)−f(a)}{b−a}

拉格朗日中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率等于区间端点法线的斜率。

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，从图形上理解就是将拉格朗日中值定理图像中的b点向下旋转，使f(b)=f(a)，此时两端点之间连线的斜率为0。

5.3 柯西中值定理

如果函数 f(x) 和 g(x) 满足以下条件：

在闭区间 [a,b]上连续。
在开区间 (a,b)上可导。
在开区间 (a,b) 内，g′(x)≠0。

那么，在开区间 (a,b) 内至少存在一点 c，使得：

$\dfrac{f′(c)}{g′(c)}=\dfrac{f(b)−f(a)}{g(b)−g(a)}$

柯西中值定理的几何意义是：在区间 [a,b] 上，函数 f(x)和 g(x) 的图像上至少存在一点 c，使得该点处的切线斜率之比等于区间端点连线的斜率之比。

怎么理解柯西中值定理？

将f(x)和g(x)看作是参数方程：

$\begin{cases}x=f(t)\\ y=g(t)\end{cases}$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$

a、b端点连线的斜率为：

$\dfrac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}$

根据拉格朗日中值定理可知，至少存在一点c，使得该点处的切线斜率等于区间端点连线的斜率，即：

$\dfrac{g'(t)}{f'(t)}=\dfrac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}$

5.4 洛必达法则

洛必达法则用于求解不定型极限问题。不定型极限是指在求极限时，分子和分母都趋向于零（即 0/0 型）或分子和分母都趋向于无穷大（即 ∞/∞ 型）的情况。洛必达法则通过求导数来简化这些极限的计算。

设函数 f(x)和 g(x 满足以下条件：

在点 a 的某个去心邻域内可导，且 g′(x)≠0。
$\lim _{x\rightarrow a}f(x)=0$ 且 $\lim _{⁡x\rightarrow a}g(x)=0$ ，或者 $\lim _{x\rightarrow a}f(x)=±∞$ 且 $\lim _{x\rightarrow a}g(x)=±∞$ 。

如果

$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f′(x)}{g′(x)}$

存在（或为无穷大），那么：

$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f′(x)}{g′(x)}$

函数的单调性

函数的单调性可以通过其导数来判定：

递增函数：如果函数 f(x)在区间 (a,b)上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x)≥0，则函数 f(x) 在区间 (a,b)上是递增的。如果 f′(x)>0，则函数 f(x)在区间 (a,b) 上是严格递增的。
递减函数：如果函数 f(x)在区间 (a,b) 上可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′(x)≤0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是递减的。如果 f′(x)<0，则函数 f(x) 在区间 (a,b)上是严格递减的。

函数的凹凸性

函数凹凸性判定

函数的凹凸性可以通过其二阶导数来判定：

凹函数：如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 x，总有 f′′(x)≥0，则函数 f(x) 在区间 (a,b) 上是凹的。
凸函数：如果函数 f(x) 在区间 (a,b)上二阶可导，并且对于区间 (a,b) 内的任意 xx，总有 f′′(x)≤0，则函数 f(x)在区间 (a,b) 上是凸的。

拐点

拐点是函数图像从凹变凸或从凸变凹的点。对于函数 f(x)，如果 f′′(x)=0 且 f′′(x) 在 x 的两侧符号相反，则 x 是函数的拐点。

极值

是指函数在其定义域内的某个局部区间内的最大值或最小值。极值分为局部极大值和局部极小值。

如果存在一个区间 (a,b)，使得对于所有 x∈(a,b)，总有 f(x)≤f(c)，则称 f(c)是函数 f(x) 在点 c 处的局部极大值。

如果存在一个区间 (a,b)，使得对于所有 x∈(a,b)，总有 f(x)≥f(c)，则称 f(c) 是函数 f(x) 在点 c 处的局部极小值。

最值

最值是指函数在其整个定义域内的最大值和最小值。最值分为全局最大值和全局最小值。

如果对于函数 f(x) 的整个定义域内的任意 x，总有 f(x)≤f(c)，则称 f(c)是函数 f(x)的全局最大值。

如果对于函数 f(x) 的整个定义域内的任意 x，总有 f(x)≥f(c)，则称 f(c)是函数 f(x)的全局最小值。

极值的充分必要条件

必要条件

如果函数 f(x) 在点 x=c 处取得局部极大值或局部极小值，并且 f(x) 在 x=c处可导，则 f′(c)=0。换句话说，极值点必须是函数的驻点。

充分条件

一阶导数判定法

局部极大值：如果 f′(c)=0，并且在 c 的左侧 f′(x)>0，在c 的右侧 f′(x)<0，则 x=c 是局部极大值。
局部极小值：如果 f′(c)=0，并且在 c 的左侧 f′(x)<0，在c 的右侧 f′(x)>0，则 x=c 是局部极小值。

二阶导数判定法

局部极大值：如果 f′(c)=0，并且 f′′(c)<0，则 x=c 是局部极大值。
局部极小值：如果 f′(c)=0，并且 f′′(c)>0，则 x=c 是局部极小值。

不定积分

1.定义

如果函数 F(x) 满足 F′(x)=f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。不定积分
$\int f(x) dx$

表示 f(x) 的所有原函数，通常写成：
$\int f(x) dx=F(x)+C$

其中，C是积分常数，表示原函数的不确定性。 f(x)是被积函数，dx表示对 x 的积分变量。

不定积分的结果是一个函数簇，而不是一个具体的数值。其几何含义是一组平行的曲线簇。

2.基本积分公式

常数积分：
∫k dx=kx+C(其中 k 是常数)
幂函数积分：

$∫x^{n} dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (其中 n≠−1)
指数函数积分：

∫e^{x} dx=e^{x}+C

$∫a^{x} dx=\dfrac{a^{x}}{ln⁡a}+C$ (其中 a>0 且 a≠1)
对数函数积分：

$∫\dfrac{1}{x} dx=ln⁡∣x∣+C$
三角函数积分：

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C
反三角函数积分：

$∫\dfrac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} dx=arcsin⁡x+C$

$∫\dfrac{1}{1+x^{2}} dx=arctan⁡x+C$