动态规划 -- 不同的二叉搜索树

动态规划 – 不同的二叉搜索树

什么是动态规划？

将一个问题拆分成一个个子问题，直到子问题可以直接解决。然后将子问题答案保存以减少重复计算，并通过子问题答案反推，得出原问题解的一种方式。

核心思想：拆分子问题，记住过往，减少重复计算

解题思路：

• 穷举分析
• 确定边界
• 找出规律，确定最优子结构
• 写出状态转移方程

什么是二叉搜索树？

二叉搜索树BST（Binary Search/ Sort Tree），也称为二叉查找树，二叉排序树，顾名思义是二叉树的特种树，专注于检索，特点是让节点按照数据的一定的规律摆放，从而让搜索某个节点特别的高效。

特点：

• 左子树上所有结点的值均小于等于它的根节点值
• 右子树上所有结点的值均大于等于它的根节点值

利用动态规划解决问题

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

1. 穷举分析

对于1-n的数，我们遍历每一个数字，将当前数字定为i；

当i = 1时，生成的二叉搜索树为1

当i = 2时，1作为根节点时，2作为它的右节点；2作为根节点时，1作为它的左节点

当i = 3时：排列出5种不同的二叉搜索树

• 1作为根节点时，2、3作为右节点，同时对于2、3参照i=2时可以排列出两种符合二叉搜索树的节点；
• 2作为根节点时，只能是1作为左节点，3作为右节点
• 3作为根节点时，1、2作为右节点，参照i = 2 时进行排列，可以得出两种结果。

当 i 作为根节点时，将1… (i-1)作为左节点，(i+1) … n作为右节点；

1. 确定边界

定义G(n)函数：长度为n的序列能构成的不同二叉搜索树的个数

定义F(i,n)：当i为根、序列长为n时能构成的不同二叉搜索树的个数

从穷举分析中得出结论：G(n)=i=∑F(i,n)

边界情况：序列长度为1和序列长度为0 时，G(0) = 1；G(1) = 1

1. 找出规律，确定最优子结构

给定序列 1…n，我们选择数字 i 作为根，则根为 i 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积。

例如：不同二叉搜索树的个数为F(4，9)。其中[1,2,3]作为左节点，[5,6,7,8,9]作为右节点。

• [1,2,3]构建的左子树个数为G(3)；[5,6,7,8,9]构建的右子树个数为G(5)
• 因此 F(4,9) = G(3) * G(5)

从上述分析中得出，G(n)的结果只和序列长度有关 因此推出公式 *F(i,n) = G(i-1)G(n-i)

1. 写出状态转移方程

将 G(n)=i=∑F(i,n) 与 **F(i,n) = G(i-1)*G(n-i)**相结合，推出状态转移方程：*G(n) = ∑ G(i-1)G(n-i) ( i 属于 1-n)

根据推论出的状态转移方程解题：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var numTrees = function(n) {
    //定义一个长度为n+1的数组
    const G = new Array(n+1).fill(0);

    //定义边界条件
    G[0] = 1;
    G[1] = 1;
    
    //实现公式条件
    //G(2) = G(0)*G(1) + G(1)*G(0) = 2
    //G(3) = G(0)*G(2) + G(1)*G(1) + G(2)*G(0) = 5
    for(let i = 2; i <= n; i++){
        for(let j = 1; j <= i; j++){
            G[i] += G[j-1] * G[i-j];
        }
    }
    return G[n];
};