220. 最大公约数(欧拉函数)

最新推荐文章于 2024-04-12 20:21:09 发布

这一wa是晚安

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分类专栏：算法文章标签：算法

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文章讨论了一种数学问题，其中涉及计算在一定范围内，两数的最大公约数(gcd)为质数的数对数量。通过欧拉函数和质数枚举，计算1到n之间互质数对的总数，并利用前缀和优化求解过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给你一个n，请问有多少个 $\le i, j\le n$ ，gcd(i, j)是一个质数。这里的i，j是无序的。

思路

首先我们要先清楚gcd的含义
由于算术定理：
$x = p_1^{a_1} * p_2^{a_2} * p_3^{a_3} ...*p_k^{a_k} \\.\\a = p_1^{a_1} * p_2^{a_2} * p_3^{a_3} ...*p_k^{a_k}\\.\\b = p_1^{b_1} * p_2^{b_2} * p_3^{b_3} ...*p_k^{b_k}\\.\\gcd(a, b) = x = p_1^{min(a_1, b_1)} * p_2^{min(a_2, b_2)} * p_3^{min(a_3, b_3)} ...*p_k^{min(a_k, b_k)}(a \ mod \ p_i = , b \ mod \ p_i = 0)$
换句话说，gcd(a, b)是a，b所共有因子且取个数最小的乘积。
由于题意所说gcd(a, b)是一个质数d，那么我们就要清楚a，b除了只有一个共同因子d（d的次数为1）意外没有任何一个共同因子。这就等价于 $gcd(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}) = 1$ ，那么我们只需要去找有多少对互质的数就行了。那么我们对于一个数列而言,它的欧拉函数总和,就是两个互质数对个数。可以看我的算法笔记。我们可以枚举出 $10^7$ 以内所有的质数。然后让n除上每一个质数，得到p我们要求的是1~p以内有多少对互质的数，也就是对 $\phi(i)$ 求一个前缀和。

PS：这个题目没有前缀和处理phi[1] = 1只是加1，不加2是因为x x本身顺序根本没有关系。

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr)
#define int long long 
#define endl "\n"
#define xx first
#define yy second

using namespace std;

const int N = 1e7 + 10;

int n;
int cnt, pr[N], phi[N], sum[N];
bool st[N];

void getprime(int x)
{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= x; i ++)
    {
        if(!st[i])
        {
            pr[cnt++] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        
        for(int j = 0; pr[j]*i <= x; j ++)
        {
            st[pr[j] * i] = 1;
            if(i % pr[j] == 0)
            {
                phi[i * pr[j]] = phi[i] * pr[j];
                break;
            }
            
            phi[i * pr[j]] = phi[i] * (pr[j] - 1);
        }
    }
    
    for(int i = 2; i <= N; i ++) sum[i] = sum[i-1] + phi[i];
}

signed main()
{
    IOS;
   
    int ans = 0;
    cin >> n;
    getprime(n);
    for(int i = 0; i < cnt; i ++)
    {
        int now = n / pr[i];
        ans += sum[now] * 2 + 1;
    }
    
    cout << ans << endl;
    
    return 0;
}