随机变量线性运算性质

单个随机变量数乘的期望与方差

1. 期望:

   • 当随机变量$X$乘以一个常数$a$时，新变量$aX$的期望按比例放大：
     $$\mathbb{E}[aX]=a\mathbb{E}[X]$$
   • 这表明期望值的放大是线性的。

2. 方差:

   • 对于方差，当随机变量$X$乘以常数$a$时，新变量$aX$的方差是原方差的$a^2$倍：
     $$\text{Var}(aX)=a^2\text{Var}(X)$$
   • 方差随着常数的平方放大，反映了扩散或分散程度的增加。

多个随机变量和的期望和方差

1. 期望:

   • 对于任何随机变量$X$和$Y$，无论它们是否独立，期望的和的性质总是成立的：
     $$\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$
   • 这个性质可以推广到任意数量的随机变量：
     $$\mathbb{E}\left[\sum _{i=1}^n{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n\mathbb{E}[X_i]$$
   • 这说明期望具有线性性。

2. 方差的性质:

   • 当随机变量$X$和$Y$独立时，它们和的方差是它们各自方差的和：
     $$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$$

   • 对于多个独立的随机变量，这个性质也适用：
     $$\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\text{Var}(X_i)$$

   • 如果$X$和$Y$不独立，则需要考虑它们的协方差：
     $$\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\text{Cov}(X,Y)$$

   • 对于多个可能相互依赖的随机变量：
     $$\text{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^n\text{Var}(X_i)+2\sum _{i<j}\text{Cov}(X_i,X_j)$$