dp---背包问题

背包问题

01背包问题（每个物体最多选一个）

​ 所谓的状态就是一个未知数。状态表示考虑用几维来表示问题。

​ 状态表示从两个方面来考虑，表示的集合是什么，f(i,j)表示集合的属性是什么。每一个状态表示的是一个集合，就是搞清楚f()表示的是那一个集合，比如说背包问题就是所有选法的集合。因为f(i,j)是一个数，表示的是一个集合，数就是这个这个集合的某种属性

属性一般有max,min,数量。背包问题就是最大值。集合表示的一堆选法，所有选法的一个集合。选法满足两个条件，第一个：只从前i个物品当中选。第二个：选出来的物品的总体积小于等于J。f()表示的就是所有满足条件选法的集合。f()存的数是集合每个选法总价值的最大值。

​ 状态计算就是如何一步一步的把每个状态算出来————集合的划分

​ 就是考虑把当前的集合划分为若干个更小的子集，使其能算出来。划分原则：不重（某一个元素不可以属于两个集合）（求最大值可以重复），不漏（某一个集合元素不属于任何集合）。

​

​ 然后取两部分的最大值就好。

dp问题的优化是对代码，计算方程进行等价变形

01背包问题

public class Main{
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        // 读入数据的代码
        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        // 物品的数量为N
        int N = reader.nextInt();
        // 背包的容量为V
        int V = reader.nextInt();
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的体积；
        int[] v = new int[N + 1] ;
        // 一个长度为N的数组，第i个元素表示第i个物品的价值；
        int[] w = new int[N + 1] ;

        for (int i=1 ; i <= N ; i++){
            // 接下来有 N 行，每行有两个整数:v[i],w[i]，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值
            v[i] = reader.nextInt();
            w[i] = reader.nextInt();
        }
        reader.close() ;

        // 正式工作的代码
        /*
        定义一个二阶矩阵dp[N+1][V+1],
        这里之所以要N+1和V+1，是因为第0行表示只能选择第0个物品的时候，即没有物品的时候
        第0列表示背包的体积为0的时候，即不能装任何东西的时候

        dp[i][j]表示在 只能选择前i个物品，背包容量为j的情况下，背包中物品的最大价值
        对于dp[i][j]有两种情况：
        1. 不选择当前的第i件物品/第i件物品比背包容量要大，则dp[i][j] = dp[i-1][j]
        2. 选择当前的第i件物品（潜在要求第i件物品体积小于等于背包总容量），则能装入的物品最大价值为：
            当前物品的价值 加上 背包剩余容量在只能选前i-1件物品的情况下的最大价值
            dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]] + w[i]
        dp[i][j]在两种情况中选择比较大的情况作为当前的最优解；
        即：
        if(j >= v[i]):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        */
        int[][] dp = new int[N+1][V+1];
      for(int j = 0; j <= V; j++){
        dp[0][j] = 0;}
        for(int i = 1; i <= N; i++){
            for(int j = 0; j <= V; j++){
                if(j >= v[i]){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
                }else{
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N][V]);
    }
}