01背包，完全背包，多重背包

类型	物品选择规则	动态规划特点	遍历顺序	典型应用场景
01背包	每件物品最多选1次	逆序遍历容量，避免重复选择	从大到小遍历容量	唯一性选择问题（如装物品）
完全背包	每件物品可选无限次	正序遍历容量，允许重复叠加	从小到大遍历容量	无限资源问题（如零钱兑换）
多重背包	无限资源问题（如零钱兑换）	可拆分为多个01背包物品或二进制优化处理	拆分后逆序或正序	有限次数的资源分配问题

01背包问题

给定容量为V的背包和N件物品，每件物品有重量w[i]和价值v[i]，每个物品只能选0或1次，求最大价值

状态转移方程：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])

代码实现：

dp = [0] * (V + 1)
for i in range(1, N+1):
    for j in range(V, w[i]-1, -1):  # 逆序遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])

2. 完全背包问题

物品可无限次选择，其他条件与01背包相同

dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])

代码实现

dp = [0] * (V + 1)
for i in range(1, N+1):
    for j in range(w[i], V+1):  # 正序遍历
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i])

3. 多重背包问题

优化方法：

• 二进制拆分：将C_i分解为1,2,4,...的二进制组合，转化为01背包问题。
• 单调队列优化：利用滑动窗口思想优化状态转移。

# 拆分物品
new_w, new_v = [], []
for i in range(N):
    k = 1
    while k <= C[i]:
        new_w.append(w[i] * k)
        new_v.append(v[i] * k)
        C[i] -= k
        k *= 2
    if C[i] > 0:
        new_w.append(w[i] * C[i])
        new_v.append(v[i] * C[i])

# 转化为01背包
dp = [0] * (V + 1)
for i in range(len(new_w)):
    for j in range(V, new_w[i]-1, -1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - new_w[i]] + new_v[i])