蓝桥杯算法DP练习题——印章

印章

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问题描述
　　共有n种图案的印章，每种图案的出现概率相同。小A买了m张印章，求小A集齐n种印章的概率。

输入格式
　　一行两个正整数n和m

输出格式
　　一个实数P表示答案，保留4位小数。

样例输入
2 3

样例输出
0.7500

数据规模和约定
　　1≤n，m≤20

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这个题目当时看到的时候就是有一点点的懵逼，因为有牵扯到概率论的知识，所以有点费力。

这里主要的题解，可以浓缩成为这张图片

状态定义

首先，定义一个状态f[i][j]这个状态的含义是

手里有i个印章，集齐j种印章的概率。

状态的属性

为什么这里是sum？

牵扯到这里，我们需要先想一下状态转移方程。

状态计算

因为每次抽取一个印章，都有两种可能

• 抽到新印章
• 没有抽到新印章

到此，我们在多买一个印章的时候，我们的这个就会有以上的两种组合，所以我们是需要将这两种情况进行一个加法求和

抽到新印章

如果说是抽到新印章，我们的上一个状态就是f[i-1][j-1]

💡 f[i-1][j-1]表示的是：手里面有i-1个印章，收集了j-1种印章的概率

现在我们需要得到第j个新的印章，我们就必须要从剩下的$n-(j-1)$个印章中挑选出一个，挑选出来的概率为$P=\frac{n-j+1}{n}$，然后我们将这个概率与前面f[i-1][j-1]的概率相乘得到这个状态转移过去的公式

$$f$$