数值分析-近似计算

还没写完，静等后续……

二分法求方程近似解

概念

每次将有根区间一分为二，得到长度逐次减半的区间序列(ak,bk)，则区间中点xk = (ak+bk)/2就是第k步迭代的近似解

算法

输入：a,b,函数f(x)：输出：x
while (b - a) > ε  do
	x:=a+(b-a)/2;
	if sign(f(x))=sign(f(a)) then
		a:=x;
    else
    	b:=x;
    end
end
x:=a+(b-a)/2

其中x为输出结果。ε表示区间(a,b)的长度小于某个阈值ε。sign()表示取符号的函数。

MATLAB实现

erfen.m文件

function [k,x,wuca,yx]=erfen(a,b,abtol)
a(1)=a; b(1)=b; 
ya=fun(a(1)); yb=fun(b(1)); %程序中调用的fun.m 为函数  
if ya* yb>0, 
disp('注意：ya*yb>0,请重新调整区间端点a和b.'), return
end
max1=-1+ceil((log(b-a)- log(abtol))/ log(2)); % ceil是向 方向取整
for k=1: max1+1
a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2; 
yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1;
[k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx]
if yx==0
a=x; b=x;
elseif yb*yx>0
b=x;yb=yx;
else
a=x; ya=yx;
end
if b-a< abtol , return, end
end
k=max1; x; wuca; yx=fun(x);

fun.m文件

function [y]=fun(x)
y = x^3 - x + 4;%这里表示的是求解的方程，可修改

最后运行代码求解

[k,x,wuca,yx]=erfen (-2,-1,0.001)
% erfen(a,b,abtol)中的a,b表示区间(a,b)，abtol表示精确值，也就是阈值ε

不动点迭代法

概念

通过某种等价变换，将非线性方程改写为x=g(x)。其中，g(x)为连续函数。给定初值x0后，可构造迭代公式x(k+1)=g(x(k))

算法

MATLAB实现

diedai2.m文件

function [k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedai2(x0,tol,ddmax)
x0为初值，tol为精确度，ddmax为最大迭代次数
x(1)=x0;
for i=1: ddmax
   x(i+1)=fun(x(i));piancha=abs(x(i+1)-x(i));
   xdpiancha=piancha/( abs(x(i+1))+eps);i=i+1;
   xk=x(i);yk=fun(x(i)); [(i-1) piancha xdpiancha xk yk]
 if (piancha<tol)|(xdpiancha< tol)
        k=i-1;  xk=x(i);
    return;
end
end
 if i>ddmax
    disp('迭代次数超过给定的最大值ddmax')
    k=i-1; xk=x(i);yk=fun(x(i)); 
[(i-1) piancha xdpiancha xk yk];
return; 
end
P=[(i-1),piancha,xdpiancha,xk,yk]';

fun.m文件

function [y]=fun(x)
y = (x^5+1)/3;%这里表示的是求解的方程，可修改
%这里是将x^5-3*x+1=0改写为x=(x^5+1)/3

函数调用

[k,piancha,xdpiancha,xk,yk]=diedai2(0.3,1e-4,100)
%k为迭代次数，piancha为绝对误差，xdpiancha为相对误差，xk,yk为迭代完后对应的x(k)值和x(k+1)值

牛顿迭代法

概念

函数y=f(x)写成p(x)=f(x)-(x-xk)*f '(xk)=0。因此可以得到迭代方程
x(k+1) = x(k) - f(xk) / f '(xk)
这是f(x)=0为单根的情况。

已知重根m，则有迭代方程x(k+1) = x(k) - m*f(xk) / f '(xk)

不知重根m，则迭代方程为
u(x) = f(x) / f ’ (x)
x(k+1) = x(k) - u(xk) / u '(xk)

算法

MATLAB代码

单根情况

newtonxz.m文件

函数调用