算法的时间复杂度和空间复杂度

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一、时间复杂度

二、空间复杂度

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一、时间复杂度

1.复杂度：是衡量一个算法的效率的

2.概念：时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

3.表示：用大O表示法

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){
   int count = 0;
   for (int i = 0; i < N ; i++) {
       for (int j = 0; j < N ; j++) {//N*N
           count++;
       }
   }
   for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {//2N
       count++;
   }
   int M = 10;
  while ((M--) > 0) {//10
       count++;
   }
  System.out.println(count);
}

计算可得：func1基本操作执行了(N^2+2N+10)次

我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，所以推导大O阶方法：

a.用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

b.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

c.如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O阶。

所以fun1的时间复杂度为O（N^2)--->最坏情况

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界）

例如：在一个长度为n的数组中找一个数据x.

最好情况：1次找到

最坏情况：n次找到

平均情况：n/2次找到

3.常见时间复杂度算法举例

例一：

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {//2N
   count++; }
int M = 10;
while ((M--) > 0) {//10
   count++; }
System.out.println(count);
}
//2N+10->N

所以它的时间复杂度是O（N)

例二：

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {//M
   count++; }
for (int k = 0; k < N ; k++) {//N
   count++; }
System.out.println(count);
}

M和N都是未知的，所以它的时间复杂度是O（M+N)

例三：

// 计算func4的时间复杂度？
void func4(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {//100
   count++; }
System.out.println(count);
}
//100->1

所有常数项用1代替，所以它的时间复杂度是O（1)

例四（冒泡排序）：

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
   for (int end = array.length; end > 0; end--) {//N
       boolean sorted = true;
       for (int i = 1; i < end; i++) {//N（N-1）
           if (array[i - 1] > array[i]) {
               Swap(array, i - 1, i);
               sorted = false;
           }
       }
       if (sorted == true) {
           break;
       }
   }
}
//N(N-1)=N^2-N->N^2

所以它的时间复杂度是O（N^2),这是最好情况下它的时间复杂度。它的最好情况下的时间复杂度是O（N），相当于i只排了一次就有序了

例五（二分查找）：

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
   int begin = 0;
   int end = array.length - 1;
   while (begin <= end) {
       int mid = begin + ((end-begin) / 2);
       if (array[mid] < value)
           begin = mid + 1;
       else if (array[mid] > value)
           end = mid - 1;
       else
           return mid;
   }
   return -1; }

基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)     ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。因为二分查找每次排除掉一半的不适合值,一次二分剩下：n/2 两次二分剩下：n/2/2 = n/4

例六：

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N; }

递归的时间复杂度=递归的次数*每次递归之后的操作次数=N*1

通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)

例七：

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
 return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

递归的时间复杂度=递归的次数*每次递归之后的操作次数=2^N*1

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

计算一个算法的时间复杂度不能只靠代码来得到，还要结合它的思想来计算

二、空间复杂度

1.空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，空间复杂度算的是变量的个数

2.表示：用大O渐进法表示

3.常见空间复杂度算法举例

例一：

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {//1
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
     boolean sorted = true;
     for (int i = 1; i < end; i++) {
         if (array[i - 1] > array[i]) {
             Swap(array, i - 1, i);
             sorted = false;
         }
     }
     if (sorted == true) {
         break;
     }
 }
}
// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] f

  它只有一个变量array，所以它的空间复杂度是O(1)

例二：

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
  fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
return fibArray; }

fibonacci要开辟N个空间存储每次递归的值，所以它的空间复杂度是O(N)

例三：

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N; }

 递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了N常数个空间。空间复杂度为O(N）